例談橢圓與圓的不解之緣

俞麗萍

【摘要】一直以來，橢圓都與圓有著不解之緣.在解答相關(guān)問題時，了解二者的聯(lián)系則能使相關(guān)問題得到簡化，從而為問題的解答提供便利.基于這種認(rèn)識，本文從蝴蝶定理、圓周角和圓的構(gòu)造等多個角度對橢圓與圓的不解之緣展開了分析，以期為關(guān)注這一話題的人們提供參考.

【關(guān)鍵詞】橢圓；圓；不解之緣

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，常常可以發(fā)現(xiàn)橢圓與圓有著密切的聯(lián)系.面對一個圓錐面，利用平面進(jìn)行截取則能得到圓、橢圓或雙曲線等圖形.而在這些圖形中，只有圓與橢圓為封閉曲線.在研究圓柱的投影問題時，也可以發(fā)現(xiàn)其截面在底面的投影為圓.而數(shù)學(xué)的美，只有通過深入挖掘才能更好地體會.因此，還應(yīng)加強(qiáng)對橢圓與圓的不解之緣的分析，以便完成有關(guān)問題的深入挖掘.

一、從蝴蝶定理角度分析橢圓與圓的不解之緣

例1 已知圓O，存在弦PQ，從其中點M引任意兩弦AB與CD，分別連接BC和AD，則兩條連線與PQ相交，焦點分別為E和F，證明ME=MF.

解題思路 想要證明這一例題，可以采用上百種的方法.而利用圓的蝴蝶定理證明，則能夠更好地了解橢圓與圓的關(guān)系.

證明 將PQ所在直線設(shè)定為x軸，并將M設(shè)為原點，則能完成平面直角坐標(biāo)系的建立，并得到圓的方程x2+（y+a）2=R2.由該方程可知，直線AB與CD的方程分別為y=k1x和y=k2x.而圓與兩條直線相交得到的方程為二次曲線u[x2+（y+a）2-R2]+λ[（y1-k1x）（y-k2x）]=0.假設(shè)y為0，則E和F的橫坐標(biāo)應(yīng)滿足（u+λk1k2）x2+u（a2-R2）=0.已知x的系數(shù)為0，所以x1+x2=0，因此，ME=MF.采取該種證明方法，可以將圓的方程轉(zhuǎn)化為橢圓方程，并得到圓錐曲線的蝴蝶定理，由此可見圓與橢圓的密切聯(lián)系.

二、從圓周角角度分析橢圓與圓的不解之緣

例2 已知橢圓x29+y24=1，其上有點P，橢圓兩個焦點為F1和F2，∠F1PF2為鈍角，求點P的橫坐標(biāo)范圍.

解題思路 從幾何學(xué)的角度來看，直線與曲線是對立且統(tǒng)一的關(guān)系.而二者的相互轉(zhuǎn)化，需要借助圓周角實現(xiàn).圓的直徑上的圓周角，則是直角，直徑對應(yīng)的圓外角則為銳角，對應(yīng)的圓內(nèi)角為鈍角.利用圓弧，則可以進(jìn)行直線交角的展現(xiàn)，繼而了解橢圓與圓的內(nèi)在和諧關(guān)系.

解 由題目可知，橢圓弧在圓內(nèi)與鈍角對應(yīng)，圓外與銳角或零角對應(yīng)，交點與直角對應(yīng).聯(lián)立橢圓方程與以F1F2為直徑的圓，則能得到P點橫坐標(biāo)范圍為-355，355.

三、從軌跡探究角度分析橢圓與圓的不解之緣

例3 已知圓O及其直徑AB，并且圓上其他任意點與A，B兩點連線斜率之積為-1.已知A和B坐標(biāo)分別為（-a，0）和（a，0），a>0，直線AP與BP相交，交點為P，斜率之積為常數(shù)λ，λ≠0，求P的軌跡.

解題思路 根據(jù)橢圓定義可知，橢圓是平面上到兩定點距離之和為定值（比兩定點距離大）的點的軌跡.由這一定義，可以了解圓錐曲線的基本量與軌跡的聯(lián)系，并得知橢圓與圓的聯(lián)系.

解 假設(shè)點P（x，y）為軌跡上任意點，則kAPkBP=xx+a·yx-a=λ.通過整理，可得x2a2-y2λa2=1，且x≠±a；在λ=-1時，軌跡為圓.當(dāng)λ<0且λ≠-1時，P點軌跡為焦點在x軸上的橢圓（-1<λ<0）；當(dāng)λ<-1時，P點軌跡為焦點在y軸上橢圓；當(dāng)λ>0時，P點軌跡為雙曲線.

四、從圓的構(gòu)造角度分析橢圓與圓的不解之緣

從圓的構(gòu)造角度，也能對橢圓與圓之間的密切關(guān)系進(jìn)行分析.根據(jù)橢圓的定義，就可以利用一個圓完成橢圓的構(gòu)造.具體來講，就是在紙上完成一個圓F的繪制，然后在其中取一不靠近圓心的定點F′.將紙片折疊，確保圓周通過F′，就可以獲得一條折痕.多次折疊，則能夠獲得多條折痕.對這些折痕的輪廓進(jìn)行觀察，則能夠得到一個橢圓.之所以會出現(xiàn)這種情況，主要是由于折痕與線段交點M在橢圓上，并且FM+F′M=FM+MA=FA（圓的半徑），由此可得M點軌跡為橢圓.

例4 已知橢圓x2+y24=1，M為其上動點，N為點M在x軸上的射影，并且點O滿足OQ=OM+ON，求OQ長.

解題思路 在解答橢圓問題時，可以通過伸縮變換將其轉(zhuǎn)化為圓，然后通過構(gòu)造圓解答相關(guān)問題，從而了解橢圓與圓的密切聯(lián)系.

解 假設(shè)點Q在圓x2+y2=4上運動，該圓為橢圓的生成圓，而點Q為點M水平向橢圓外移動了ON長.由此可知，點M橫坐標(biāo)將被縮放為原來的兩倍，所以通過將橢圓還原為圓，可知OQ長為2.

五、從投影角度分析橢圓與圓的不解之緣

例5 已知橢圓x2a+y2b=1，a>b>0，證明橢圓面積為abπ.

解題思路 橢圓的投影為圓，而圓柱形物體斜截面為橢圓，所以在圓柱底面投影為底面圓.

證明 假設(shè)橢圓與圓柱底面所成角為θ，橢圓長半軸OA=a，短半軸OB=b，可得cosθ=ba，橢圓面積S=圓面積cosθ=πb2cosθ=abπ.

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，在解析幾何中，橢圓與圓有著不解之緣.而作為高考必考的主干知識，橢圓與圓的命題為典型的數(shù)形結(jié)合問題.在解答該類問題時，通過對橢圓背后的圓的素材進(jìn)行挖掘，則能夠簡化命題的解答過程或為解題提供新的思路.因此，還應(yīng)該加強(qiáng)橢圓與圓的聯(lián)系的研究，以便熟練掌握該種聯(lián)系，進(jìn)而更好地解答有關(guān)問題.