分段函數(shù)的單調性問題

王恒興

分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其對應法則也各不相同的函數(shù).分段函數(shù)是一類表達形式特殊的函數(shù)，無論其表達式有幾段，它都只能算一個函數(shù)，而很多學生總認為它是幾個函數(shù)，從而涉及分段函數(shù)的題目往往容易弄錯.分段函數(shù)在新教材中單獨成為一節(jié)，可見其在函數(shù)內(nèi)容中占著重要的位置.本文試圖從分段函數(shù)的單調性入手，揭示分段函數(shù)的一些解題方法和策略，以幫助大家進一步認識和了解分段函數(shù).

一、求函數(shù)的單調區(qū)間

例1 設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk（x）=f（x），f（x）≤k，k，f（x）>k， 取函數(shù)f（x）=2-|x|，當k=12時，函數(shù)fk（x）的單調增區(qū)間為（ ）.

A.（-∞，0）

B.（0，+∞）

C.（-∞，-1）

D.（1，+∞）

解 由f（x）>12，即2-|x|>12，∴-|x|>-1，

即-1

∴f12（x）=2-x，x≥1，12，-1

故f12（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1），故選C.

感悟 這是一種自定義函數(shù)的題型，具有創(chuàng)新意識，只要弄懂正文求出函數(shù)解析式，其他問題就容易解了.

二、由分段函數(shù)單調性求最值

例2 （2015年浙江）已知函數(shù)f（x）=x+2x-3，x≥1，lg（x2+1），x<1， 則f[f（-3）]=，f（x）的最小值為.

解 由題意知f（-3）=1，f（1）=0，∴f[f（-3）]=0.

又f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增.

∴f（x）min=min{f（0），f（2）}=22-3.

感悟 這里易知f（x）的單調性，但求最小值時一定要比較f（0）和f（2）的值哪個更小，否則易犯經(jīng)驗錯誤.

三、由分段函數(shù)的單調性解不等式

例3 （2016年山東調考）已知f（x）=x2+1，x≥0，1，x<0， 則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的取值范圍是.

分析 若通過代解析式來解不等式f（1-x2）>f（2x），則需要討論四種情況，且出現(xiàn)四次不等式，顯然麻煩還不一定解得出來.本題可考慮數(shù)形結合法求解.

解 作出y=f（x）的圖像，欲使f（1-x2）>f（2x），則必有

1-x2>0，2x<0 或1-x2>2x，2x≥0， 解得-1

感悟 這里巧妙地避開了復雜的分類討論，而是借助圖像、依據(jù)函數(shù)的單調性達到了求解的目的.

四、由分段函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍

例4 （2016年北京東城區(qū)調考）已知函數(shù)f（x）=-x2+6x+e2-5e-2，x≤e，x-2lnx，x>e.

（1）若f（6-a2）>f（a），則實數(shù)a的取值范圍為；

（2）函數(shù)g（x）=f（x）-e-2e-3（x-3）的零點個數(shù)有個.

解 ∵f′（x）=-2x+6，x≤e，1-2x，x>e，

當x≤e時，f′（x）=6-2x=2（3-x）>0；

當x>e時，f′（x）=1-2x=x-2x>0.

∴f（x）在R上單調遞增.

（1）由f（6-a2）>f（a），得6-a2>a，解得-3

（2）g（x）=0，即f（x）=e-2e-3（x-3），由于y=f（x）在R上單調遞增，且過點（e，e-2），又y=e-2e-3（x-3）是單調遞減的直線，也過點（e，e-2），故y=f（x）與y=e-2e-3（x-3）只有一個交點，故g（x）=f（x）-e-2e-3（x-3）的零點個數(shù)有1個.

感悟 本題直接作圖是很難的，第（1）問代解析式來解不等式也是不可能的，通過導數(shù)判斷單調性才是最佳的.可見對于一些比較復雜的分段函數(shù)（含有超越函數(shù)），借助求導求有關問題行之有效.