一個優美不等式的新證與推廣

董義宏

【摘要】本文采用兩種新的方法對一個優美不等式進行了證明，并從維數上進行推廣.

【關鍵詞】一個優美不等式；新證；推廣

安振平老師在《中學數學教學參考》2010年第1期[1]上給出了26個優美不等式，第17個不等式是這樣的：設a，b，c是正實數，a+b+c=3，證明a2b+c+b2a+c+c2a+b≥a2+b2+c22.文[2]用切比雪夫不等式給出了證明并對指數和維數做了推廣，經過思考，現給出兩種用中學常用的不等式知識就能推出的證法，并從另一角度對這個等式做出推廣.

證明（一） a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a4a2（b+c）+b4b2（a+c）+c4c2（a+b）

≥（a2+b2+c2）2a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b），

而a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-（a3+b3+c3）

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-2（a3+b3+c3）2

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-

（a3+b3）+（b3+c3）+（c3+a3）2

≤（a+b+c）（a2+b2+c2）-

（a2b+ab2）+（b2c+bc2）+（c2a+ca2）2

=（a+b+c）（a2+b2+c2）-

a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）2，

因此，a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

≤（a+b+c）（a2+b2+c2）-

a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）2.

于是a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）≤2（a2+b2+c2），

a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a4a2（b+c）+b4b2（a+c）+c4c2（a+b）

≥（a2+b2+c2）2a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）

≥（a2+b2+c2）22（a2+b2+c2）=a2+b2+c22.

證法（二） a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a23-a+b23-b+c23-c

≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a3+b3+c3）

≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a+b+c）（a3+b3+c3）3

≥（a2+b2+c2）23（a2+b2+c2）-（a2+b2+c2）23

=（a2+b2+c2）3-a2+b2+c23

≥a2+b2+c23-（a+b+c）29

=a2+b2+c22.

現給出這一命題的推廣：

設a1，a2，…，an都是正實數，且a1+a2+…+an=n，則

a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an≥a21+a22+…+a2nn-1.

證明 a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an

=a41a21（n-a1）+a42a22（n-a2）+…+a4na2n（n-an）

≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a31+a32+…+a3n）

=（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a1+a2+…+an）（a31+a32+…+a3n）n

≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a21+a22+…+a2n）2n

≥（a21+a22+…+a2n）2n（a21+a22+…+a2n）-（a21+a22+…+a2n）（a1+a2+…+an）2n2

=a21+a22+…+a2nn-1.

【參考文獻】

[1]安振平.二十六個優美不等式[J].中學數學教學參考，2010（1）：136.

[2]劉艷，魏春強.第17個優美不等式的證明與推廣[J].大觀周刊，2012（48）：267.