圓錐曲線解題思路分析

陳娟++李建軍

在高考中，絕大多數學生都恐懼圓錐曲線問題.圓錐曲線到底難在哪里呢？兩個方面，一是思維，不理解問題的實質，不知道算什么，二是計算量大，計算復雜.而事實上，只要解決了第一個問題，第二個問題也就不難了，因為沒有問題的切入點，不明白算什么，所以才沒有辦法，也沒有算下去的信心.這里，我就近幾年的高考題，總結出幾個解題思路.

類型一：問題是以幾何圖形或者幾何語言形式出現的——數形結合，轉化為數量關系

例1 （2015·新課標全國卷Ⅰ理科20）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=x24與直線y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程.

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

分析 （1）略.

（2）問題中∠OPM=∠OPN反映了什么本質呢，作出圖形，設PM，PN與x軸分別交于點A，B，由∠OPM=∠OPN容易得出∠PAO=∠PBO，又∠PAO為PM的傾斜角α，∠PBO為PN的傾斜角β的補角，α+β=π.從而kPN+kPM=0.又斜率與坐標有關，于是就可以用韋達定理解決，這樣，幾何問題就轉化為代數問題，找到解題思路.

例2 （2015·新課標全國卷Ⅱ理科20）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

（2）若l過點m3，m，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由.

分析 （1）略.

（2）四邊形OAPB為平行四邊形，是想說明什么問題呢？先分析平行四邊形有什么特點、性質.① 對邊平行且相等；② 對角線互相平分.由①可以想到kPB=kAO且|PB|=|AO|，由②可以得中點重合，顯然，②這個性質用起來更方便.設直線l的斜率為k，因為直線l過點m3，m，所以l：y=kx+m（3-k）3，又OM的方程為y=-9kx.設點P的橫坐標為xp.

由y=-9kx，9x2+y2=m2， 得x2p=k2m29k2+81，即xp=±km3k2+9.又xP=2xM，于是±km3k2+9=2×k（k-3）m3k2+9，解得k1=4-7，k2=4+7.

方法小結 這一類問題的關鍵是將圖形問題利用數形結合轉化為數量關系，主要利用圖形的幾何性質和特點進行轉化.

類型二：求范圍或者最值問題——基本思想為構造函數或解不等式

例3 （2016·新課標全國卷Ⅰ理科20）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由于要求四邊形MPNQ的面積，則要求出弦長|MN|，|PQ|.此題思路不復雜，計算稍微煩瑣，基本思想是構造函數.

例4 （2015·新課標全國卷Ⅱ理科20）已知橢圓E：x2t+y23=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

分析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由題知t>3，由2|AM|=|AN|，可以得到k與t的等式關系，然后利用t>3這個條件構造不等式，即可求出范圍.

方法小結 求范圍或最值，基本思路就是構造函數或不等式，尤其是構造不等式，怎么去尋找不等關系，建立與所求參數的聯系，是解題的切入點，除了上面提供的思路，有時還會利用判別式，曲線之間的位置關系來建立，當然，這樣的問題思路比較容易找到，這里就不列舉了.