“函數的單調性”教學設計

邊紅霞

一、教學分析

單調性是函數的一個重要性質，對它的研究需要濃墨重彩，因為不僅它是函數最精彩的內容，也是培養學生數學素養的重要素材.為此我采用的方法是由直觀到抽象、由特殊到一般的思維方法，通過觀察、思考、歸納，凝練出單調性的概念，從中讓學生感知概念形成的過程，體驗數學的思想方法，培養學生的數學素養.

（一）學情分析

本節課是在學生學習了函數的概念、函數的表示方法的基礎上，僅有對一次、二次函數的認識，學生對函數中兩個變量間相互依賴關系僅僅是初步了解，若直接引入會很抽象，因此，我采用從實例引入，從已知自然過渡到未知.

（二）教學目標

1.知識目標：掌握函數增減性的概念及應用；函數單調性的研究經歷了從直觀到抽象，以圖助數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程.

2.能力目標：在探索過程中培養學生分析、歸納、抽象思維及推理判斷能力.初步運用函數思想理解和處理現實生活中的簡單問題.

3.情感目標：在參與過程中體驗成功和挫折，感受學習數學的樂趣.

（三）教學重點與難點

重點：函數的單調性概念及其幾何意義.

難點：利用定義判斷、證明函數的單調性.

（四）教學方法

根據學生的認知規律，本節采用探究式的教學方法，利用啟發、合作探究、由淺入深進行教學，以激發學生思維，使教學過程真正成為學生的學習過程，以熟悉的問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主動參與的積極性.教會學生清晰地思維、嚴謹地推理，并順利地完成書面表達.

二、教學過程

（一）創設情境 揭示課題

（課前放幻燈片展示數學之奧妙：數學正沿著它自己的道路無拘無束地前進著，這并不是因為它有什么不受法律約束之類的種種許可證，而是因為數學本來就具有一種由其本性所決定的并且與其存在相符合的自由——數學家Hankel）

教師：數學本身是奧妙無窮的，而函數是其最華美的樂章，對函數的研究伴隨高中乃至大學的整個學習過程，今天我們開始研究函數的性質.何謂性質，就是在事物的變化過程中始終保持不變的特征，那么函數具有哪些特征呢？

問題1 隨著自變量的變化，函數值呈現怎樣的變化規律？

教師：觀察下面兩個圖，分析有怎樣的變化規律？

圖1 易縣中學2010年以來高考二本上線人數

圖2 全國耕地面積的變化

學生1：圖1說明我校高考二本上線人數，從2010年起逐年增加.

學生2：圖2說明全國耕地面積在逐年減少.

教師：對，兩個圖直觀地表現了函數值隨著自變量的變化有著一定的變化規律，或增或減.

問題2 函數的圖像呈現出怎樣的變化趨勢？

教師：觀察以下三個函數的圖像，看隨x的增大，y的值有怎樣的變化？

學生3：函數y=x+1中函數值隨自變量的增大而增大，圖像呈上升趨勢；函數y=-x+1中函數值隨自變量增大而減小，圖像呈下降趨勢.

學生4：函數y=x2在原點左側呈下降趨勢，在原點右側呈上升趨勢.

教師：很好！從上面的觀察分析可以看出，不同的函數，其圖像的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上變化趨勢也不同，函數圖像的這種變化規律就是函數性質的反映.今天我們研究函數的一個重要性質——函數的單調性.

（二）歸納總結 探究新知

教師：如何用數學符號語言來描述這種“上升”與“下降”呢？

學生交流討論，讓學生體會概念形成的過程：觀察→思考→討論→歸納.

教師：回憶學習過的集合，若證明一個集合滿足某種屬性，應證明集合中的每個元素都滿足，而對無限集，我們不可能一一列舉，這樣就有了一個非常巧妙的方法——任取，任意就代表了所有，這是數學概念最經典的一種描述.

1.師生共同總結：（板書）增（減）函數：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1f（x2）），那么就說f（x）在區間D上是增（減）函數，D為其單調區間.

問題3 怎樣確定函數的單調區間？

教師：根據上面函數圖像，確定函數的單調性及單調區間？

學生5：函數在（-∞，-2）上單調減，在（-2，0）上單調增，在區間0，32上單調減，在32，+∞上單調增.

教師：很好！注意，單調性是函數的局部性質，比如，此函數在R上不具有單調性，但在各區間上單調.

2.函數單調性定義：如果函數y=f（x）在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫作y=f（x）的單調區間.

問題4 在定義中為什么強調：對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2.

教師：觀察反比例函數的圖像，確定其單調性.

學生6：反比例函數是減函數，區間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

學生7：我覺得不對，雖然在兩側呈現下降，但在整個定義域中不是單調減函數.

教師追問：為什么？

學生8：如果從原點左側任選一個變量x1，從原點右側任選一個變量x2，顯然x1

學生9：這個單調區間寫的也不對.它的單調減區間應該是兩個：（-∞，0）和（0，+∞）.

學生10：反比例函數在區間（-∞，0）上是減函數，在區間（0，+∞）上也是減函數.

教師：很好！這道題充分說明了定義中兩個變量一定要在區間中任取；另一方面，研究函數的單調性時，一定要指出是在哪個區間上，對于幾個相同單調性的區間也不能簡單地并在一起.（在這個討論過程讓學生感受數學是嚴謹的）

（三）質疑答辯 發展思維

問題5 函數單調性的應用（題略）.

（通過例題培養學生數學建模意識，初步了解函數思想，并用其解決實際問題）

（四）總結規律 升華結論

利用定義證明函數f（x）在給定區間D上單調性的一般步驟：

（1）任取x1，x2∈D，且x1

（五）教學思考

這節課是對函數性質的探究發現過程，在教學過程中，數形結合的思想方法體現得淋漓盡致.通過圖形觀察函數特征，通過特征總結規律，實現由特殊到一般的演變，最后把文字語言轉化為符號語言，概括出結論.學生體驗了概念形成的全過程，鍛煉了觀察、分析、總結問題的能力，同時也培養了嚴謹、科學的數學素養.