函數思想在解題中的應用

【摘 要】在中學數學教學的過程中，方程和函數有著十分重要的戰略地位，兩者之間關系密切，在數學解題中能夠發揮出十分重要的作用。本文在對函數概念進行介紹的基礎上，對函數思想在解題中的應用進行深入的分析和探討，以期為中學數學的解題提供一定的方法參考。

【關鍵詞】函數思想；方程；不等式

在數學思想方法中，函數思想是其中十分重要的內容，在高中數學的學習中起到了至關重要的作用，函數代表的不僅僅是我們學習中抽象的理論知識，更反映出了自然界中量之間的依存和相互轉化關系，函數明確的反映出了兩個變量之間的關系，從某種意義上來說，函數就是將現有的已知條件轉化為專業的數學語言，構造函數關系，再利用我們構造的函數關系來解決實際的問題。

1函數的概念

函數代表的是變量之間的關系，從變量的角度分析，函數可以闡述為兩個變量x和y之間的關系，在x的某一取值范圍內，y會隨著x的變化呈現出規律化的變化，在這一對應關系中，因變量y就被稱為是自變量x的函數，其表示形式為：y=f（x）。

函數有許多性質，包括奇偶性、單調性、周期性等。將函數所具有的這些性質與其他的數學知識聯系起來，可以幫助學生更好地學好數學，并利用函數的概念或者性質，快速且方便地解答數學問題。

2函數思想在解題中的應用

2.1以函數為載體，實現函數與方程、不等式之間的相互轉化

函數與方程、不等式之間關系緊密，對函數的研究與應用依賴于不等式和方程，例如，在求函數的定義域和值域時，就是利用不等式知識進行求解的。證明函數單調性時，利用的也是不等式知識。同時，在進行方程和不等式的性質研究時，也需要函數思想的指導，這三者之間是密不可分的。例如在求解方程時，就相當于是在求函數f（x）的零點，在解題的過程中，要將學到的知識活學活用，注意不同知識間的交叉互換，培養自己的融匯交叉意識，從而對知識有一個整體的把握。

例1設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩根x1、x2滿足0

證明：根據題意可知，

∵x1、x2是方程f（x）-x=0的根，即x1、x2是ax2+（b-1）x+c=0的根，

∴

∴

∵ax2<1

∴

由上題的解題過程可以看出，這是一道求解二次方程的根的分布區間的問題，解答這一類問題時，要將題目中給出的已知條件轉化為二次函數f（x）-x=0求解的問題來解答，通過二次函數與二次方程之間的相互轉化，構建簡化的函數或方程形式，將其轉化為我們熟悉的形式進行解答，這種解題方式可以很好的培養學生的函數轉化思想，提高學生的解題能力。

2.2以函數為載體，促進函數與角的轉化

在進行三角函數問題求解時，要將角的變化與函數值的變化緊密地聯系起來。由于角與三角函數之間有著緊密的依存關系，因此，可以從函數的角度對角進行研究。

例2已知a>0，且a≠1，要使方程有解，則k的取值范圍是多少。

通過對例題的分析我們可以發現，這一類方程的解題方法一般是將方程中包含的等式轉換為不等式來求解，然后根據建立的不等式組有解這一解題條件，對k的取值進行討論，從而求得k的取值范圍。這一類題解題較為簡便，但在解題的過程中容易忽略對k值的討論，使得答案有所遺漏，在解題中充分的利用函數思想，就會使解題變得簡單。

解：原方程可以等價為如下方程：

將上述方程再次等價為不等式組為

解出k為

∵

令x=acosθ，θ∈（，0）∪（0，）

則

當θ∈（，0）時，

此時k<-1

當θ∈（0，）時，

此時0

所以k的取值范圍為k<-1或0

3結語

函數作為中學數學中的重要教學內容，其在整個數學知識領域有著廣泛的應用，其思維邏輯方式新穎，解法多樣，因此也是歷年考試的重點內容。通過對近年來高考試題的命題進行分析，函數在高考數學中占有非常大的比例，因此，靈活掌握函數的解題方法，學會知識的靈活運用，對于學生推理能力和論證能力的培養都有著重要的意義。

參考文獻：

[1]黃炎哲.函數思想在解題中的應用[J].科教導刊.2016，02：124-125.

[2]何冬梅，趙國清.淺談函數思想在解題中的應用[J].保山師專學報.2005，05：40-43.

作者簡介：

喻繼葳（1979.9～），女，漢族，四川省南部縣，大學本科，中教一級，高中數學教育。