例談以高中數學課本題為源命制試題

林忠順

摘 要：以課本題為源命制“源于課本又高于課本”的試題，已成為全國及各地高考命題的一項準則，每份高考試卷均有幾道題是按此準則命制的，在平時的單元檢測、期中期末考試等命題中堅持以課本題為源頭命制測試題，有利于引導學生立足教材，強化“三基”的落實。

高考命題的基本準則是以課本為主，其內容都立足于課本，對學生而言，這些問題看上去很熟悉，但與教材問題又有區別，解決問題的方法卻是類似的，遷移了教材中解決問題的基本思想和方法。對教師而言，編制題目的過程體現了研究性學習的過程，體現了由特殊到一般、由封閉到開放的過程，同時也是提高教師命題能力的過程。

下面就以一道高中數學課本題為源衍變不同試題的命制過程，供大家參考。

人教A版高中課標實驗教材數學選修2-2第32頁習題B組第1題（4）：

利用函數單調性證明不等式，并通過圖像直觀驗證：lnx0。

源于教材，尋求變化，這個變，可以是由函數、自變量、系數的變化，系數可以由數字變為字母，也可以由特殊變為一般；所給條件可以強化變，也可以弱化變等。

1.改變函數變量的范圍

變式1：證明不等式：ln（x+1）< x+1≤ex，x>-1。

說明：由上圖可知y=ln（x+1）和y=x+1可由y=lnx和y=x的圖像向左平移1個單位得到，所以要證明的不等式成立。

2.系數由常數變為字母，由連續型函數變為離散型函數

變式2：已知函數f（x）=alnx-ax，（a∈R）。

①求函數f（x）的單調增區間；②若a=-1，求證：f（x）≥f（-1）且—·—·—·…·—<—。

說明：變式2將系數由常數改為字母，可以考查學生的分類討論思想；第②題是用連續函數解決離散函數的問題。

3.由比較函數值的大小變為比較自變量的大小

變式3：已知函數f（x）=x-ex+2

①求f（x）的單調區間。②設x1，x1是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2>0。

變式4：已知函數f（x）=（x-2k）ekx+a（x-k）2（其中k為正常）有兩個零點。

①求a的取值范圍。②設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2k，且x1·x2

說明：變式3和變式4將母題中證明函數值大小關系改編為證明自變量大小關系，該問題其實是函數極值點偏移（函數非對稱型）問題，2016年高考新課標Ⅰ卷理數第21題就涉及該問題的考查。變式3 是具體函數的求解，相對較簡單，變式4含參談論，有一定的難度，可作為階段綜性的測評題。

以高中數學課本題為基本素材，對試題進行命制探究、變式拓展，實際上就是對教材中題目的“二次開發”，為教師的授課提供有益的、切合高中學生學情的案例，其目的就是讓考試題更有利于學生對數學知識的理解和思維的發展。認真研究教材，活化教材中的習題和例題，進一步開發測評試題，拓展其教育功能，是高中教學和復習的有效途徑之一。高考備考中，我們需要建立在對高考試題和教材縱深研究的基礎上，善于用聯系的觀點探究課本題和高考試題的變式，善于在課本題中尋找高考試題的原型，探究高考試題與課本題的結合點，再將這些問題做恰當的分解或整合、延伸或拓展。教師在課堂上要有意識地引導學生從題目的變化中發現不變的本質，避免讓學生機械重復地訓練，盡量讓學生體會經歷從苦思不得其解到得來全不費功夫的酣暢淋漓，使高中課堂教學豐富、鮮活、高效，精彩紛呈。

參考文獻：

[1]王淼生.數學百題精彩千解[M].福州：福建教育出版社，2009.

[2]人民教育出版社課程教材研究所數學課程教材研究開發中心.數學（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2007.