想——數學學科素養之核心

陳育彬+李紅梅

數學核心素養的涵育，關鍵是培養學生“主動想”的習慣，訓練學生“科學想”的方法，提高學生“擅長于想”的能力，鼓勵學生“敢于想”的勇氣。然而，現在有些學生越來越懶得去想了，思考力也出現了總體下滑的現象。如果學生在數學學習活動中，想的成分少了，想的能力、水平降低了，想的興趣不高了，那說明數學教學在方向上、過程中還有待改善。那么，這種數學核心素養的培育如何才能得到落實呢？在此，將從以下幾個方面展開討論。

一、對數學教學現狀的反思

1.對新課程改革的實踐感受

歷時十余年的本輪課程改革給中學數學教學帶來了巨大的變化，但也有需要改進的地方。出于減輕學生課業負擔的初衷，本輪課程改革對中學數學中原有的部分內容作了較大幅度的刪減，尤其是與學生思考能力訓練關系最直接的平面幾何、立體幾何、解析幾何中的重要內容被大量刪減或降低了要求，導致對學生思維訓練的載體銳減。事實上，學生數學學習的實際難度，并沒因內容難度的降低而降低，因為一些關鍵內容的刪減，使原來較快就能解決的問題，現在要繞一個大圈子才能解決。如關于二次不等式的求解、空間垂直關系的轉化等，使得原本簡捷明了的推證變得機械和冗繁，使學生幾乎沒有了想象的空間。對具體問題解決過程機械難度的增加、智慧水平的削弱，使激發學生的思維興趣、彰顯數學的學科魅力受到了制約。

2.對數學教學實踐的剖析

數學教學的實踐，也存在一些不利于學生思維發展、提高的傾向。一是教學安排得過度“精細化”。現在有不少學校幾乎將學生所有的業余時間都做了精細安排，甚至有些學校連學生課間十分鐘都“算計”了。如果學生所有的時間都被安排得滿滿當當，那他們就沒有時間去“想”了。二是解題訓練的簡單化。“數學是思維的體操”，解題是數學的首要任務。但解什么題、怎樣解題、解題訓練要怎樣設計，這些問題不搞清楚，解題訓練就難以取得實效。事實上，現在教師手頭最不缺的就是題，但所選的每一道例題應蘊含怎樣的教學功能、達到怎樣的目的、如何展開分析等，還思考、設計得不夠深刻或不周全。這些都是事關解題訓練效果的關鍵問題。沒有充分的前置性設計，解題訓練就不會產生良好的效果。三是應試理解的異化。數學高考的能力立意已不再是一種理念或口號，而是通過解題，讓學生“想”的習慣得以養成，“想”的能力得以提高，“想”的品質得以優化。但如今仍然還有些學校、教師和學生把考試單純地理解為通向升學的途徑。愛因斯坦說：“教育就是一個人在學校所學全部忘記后剩下的東西。”同理，能力立意的高考，足夠的記憶儲存是基礎，“忘記后剩下的東西”才是更需要的。

二、“想”是數學核心素養之核心

如今，學校教育已跨入核心素養目標追求的時代，數學教學也進入“數學核心素養教學”的新階段。《普通高中數學課程標準（修訂稿）》不僅將數學素養列為課程宗旨和目標，而且還提出了6項核心素養指標：數學抽象、邏輯思維、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。下面，對這6項指標的具體內涵作一簡要分析。

數學抽象即舍去對象一切外在的物理屬性得到數學對象（數、形）的本質特性的思維方式。這是一種具有一般性的數學思考方式與習慣。邏輯推理即從基本事實和已知命題出發，依據邏輯規則推知一個命題的思維過程。它是不斷豐富數學認知、養成嚴謹數學態度的關鍵。數學建模即將現實問題數學化，并用數學方法解決問題的活動。數學運算即在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則、規律探究運算方向，選擇運算方法、設計運算程序，求得運算結果的過程。它是解決現實問題和數學問題的重要手段，是養成學生程序化思維習慣的重要途徑。直觀想象即借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何性質理解和解決數學問題。它是培養學生觀察的透析性、思維的深刻性的重要途徑。數據分析即從數據中獲得有用信息，是知識形成的過程。它能使學生從數據中抽象出規律，形成特有的數學思維能力，并掌握以簡單的數據反映內在關聯和規律的數學表達方式。

以上核心素養指標，都以不同的思維方式、方法為支撐，以使學生的思維習慣養成、思維品質優化、思維能力提高為追求。

三、數學教學應圍繞“想”而展開

數學是思維的體操，思維更是數學的靈魂。數學教學圍繞“想”而展開，需要以教學操作技術體系為支撐，需要具有特質要求的教與學的關系為保證，更需要回歸教育本原的價值觀念作引領。

1.構建為“想”而教的操作技術體系

為“想”而教就是要突出“想”在概念建構、原理、法則的推導（論證）、數學問題的解決與應用各教學環節中的中心地位，讓“想”貫穿數學觀察與閱讀、數學抽象與概括、數學推理與表達及數學實踐與應用的活動過程，讓學生理解并掌握從概念出發的數學思考之道，由定性到定量并精確表達的數學認知之策，由特殊到一般、由具體到抽象的數學思考之法。

如“函數單調性”概念的教學，可按下列程序實施。以學生熟悉的生活情境、數學事實為對象，按照“感知單調現象—以數學的視角和方法揭示單調性—用數學的表達刻畫單調性（下定義）—在數學情境下”的次序，深化單調性理解（辨析、求解、求證）。

根據以上設計片段，可發現如下特點：全面調動學生的認知參與（觀察、概括、抽象、表達、判斷、推理等）；充分展開概念形成的過程（將概念形成過程作為學生思維訓練、思維品質優化的過程）；積極鼓勵學生不斷嘗試；逐漸深化學生的思維深度。這些特點說明了學生的“想”是居于數學活動首位的，教師應以精于“想”的教去促進善于“想”的學。

2.確立為“想”而教的教學關系

教與學的關系始終是教學中認識與實踐的關鍵，有什么樣的教育價值追求，就會有什么樣的教與學的關系處理。為“想”而教，需要對學生的中心地位的確認，對學生的無限能動性的信任，對學的過程中個體差異性的適當“放任”，需要教師由提供結論和路徑的“講”轉變為設計情境和點撥方法的“導”。

關于教學關系中，誰是“主”的問題，在理論認識層面已不再是問題，但在具體實踐中，仍有偏差。除了善意的包辦替代仍屢屢可見外，對什么是教所該為、教所可為與學所該為、學所能為的認識還不清楚。教之“導”，導得乏力，導不得法；學之“主”，缺乏主動，缺乏主體責任感。

最近，筆者參加了一次高三數學集體備課活動，深有感觸。議題是討論“如何定期組織學生的錯題重做”，具體討論的是錯題素材如何組織、錯誤糾正如何進行、時間怎么安排等。討論中，不少教師建議，高三學生時間很寶貴，素材還是由教師來選取，免得讓學生耗費不必要的時間；建議每周全年級統一于某天“午練”時間集中進行講評，這樣效率更高。這不僅是一個具體的教學技術操作環節的話題，更是一個涉及教與學的關系如何理解、怎樣定位的問題。在大家積極討論的基礎上，筆者順勢提出以下問題：錯題是誰之錯，錯誤矯正的行為主體應該是誰？錯題矯正，要解決典型性、代表性問題，更需要解決好學生個體的特殊性問題，除了組織統一的錯題講評外，是否還應更進一步地考慮一下個別化問題？錯題重做，除了要解決一些具體錯誤以外，是否還應通過每一次的錯題矯正，達到更深層次的目的？大家通過進一步討論，最后形成了比較一致的意見，即先讓學生每天做好當天練習中的“錯題”記錄（具體的錯誤表現及錯因反思），并力求自主矯正；然后每周組織一次集體學生活動，將一周內各自出現的錯誤、存在的疑難，在學習小組及班級兩個層面，進行交流及互糾；最后讓學生以給同伴建議的形式，就如何防止和解決各類錯誤提出若干對策。

可見，對教與學關系的處理，需要建立起有利于促進學生“想”的教，教必須自覺地不“占位”，更不可“越位”，多一點“無為”更好。

在日常教學中，雖然教師每一天，乃至在每一節課上，都能驚喜地發現學生的意想不到的表現，但在教師的頭腦中，卻總被諸如學生畢竟是學生、這是學生不懂的、那是學生做不到的“自以為是”所束縛，在具體的教學操作時就可能因不相信而包辦代替，因不放心而放不開。有些教師總以為自己才是對的，自己比學生懂得多，其實這是一種片面的想法。教師應該知道，誰都代替不了學生，要把自己所擁有的轉化為學生能有的，也絕不是一個簡單的“轉移”過程，而是一種復雜的由接收、編碼到內化的能動過程。教的價值不在于物流配送式的傳遞，而在于“催化”，在于創造一種更有利于學的環境，讓學生自己去生成和建構知識體系。

有利于促進學生“想”的教學關系，要給予學生足夠的“自由”，給學生自主支配學習時間的自由，給學生選擇個性化學習策略的自由。要尊重并接受學生的學習差異，讓他們發展成最好的自己，就是最好的教育。尤其對高三年級的學生，更需要給予他們較多自主的空間。

以數學育人，就是要落實并充分體現數學教育在學生核心素養形成中的獨特作用，就是要突出“想”的核心地位，借助數學的內容，以數學的方式，讓學生數學地認識和改造世界。以數學的內容——嚴密的知識體系、系統的方法和思想體系，借助數學的力量——理性精神、智慧魅力，通過數學過程——抽象具體、建構概念、研究性質，形成判斷，遷移應用，解決問題，培養具有數學眼光、數學思維和能力，會用數學的方法去解決問題、以數學的方式進行表達的人。其中，無論是數學的內容、過程，還是力量，都是圍繞著“想”進行的。