數(shù)形結(jié)合思想解函數(shù)零點(diǎn)問題

江蘇省如皋市第二中學(xué)(226500)

何 敏●

數(shù)形結(jié)合思想解函數(shù)零點(diǎn)問題

江蘇省如皋市第二中學(xué)(226500)

何 敏●

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的研究主要就是兩種基本的方法：解析式以及函數(shù)圖象，這分別是“數(shù)”以及“形”的體現(xiàn)，而數(shù)形結(jié)合的思想就是將兩者結(jié)合在一起，實(shí)現(xiàn)互相補(bǔ)充與完善，使我們?cè)诮夂瘮?shù)零點(diǎn)問題時(shí)如虎添翼.

數(shù)形結(jié)合;零點(diǎn)個(gè)數(shù);參數(shù)范圍;零點(diǎn)數(shù)值

一、畫出圖形，查出零點(diǎn)個(gè)數(shù)

零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題涉及到方程與函數(shù)思想的引入，這里常將方程根的問題與函數(shù)零點(diǎn)問題相結(jié)合，這是高中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)，課堂上老師也定會(huì)強(qiáng)調(diào)此類問題相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，學(xué)生必須真正了解其中的含義才能解題.

解析 本題中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)很顯然可以轉(zhuǎn)化為g(x)和f(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但由于需要在同一坐標(biāo)系上畫出兩個(gè)圖形，我們對(duì)圖形精度的掌握就必須準(zhǔn)確，這就必須要從數(shù)的角度去計(jì)算求解，比較特殊點(diǎn)的函數(shù)值大小，才能確定最終圖形的形狀.如圖所示，通過簡單的變換推導(dǎo)我們不難畫出f(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域內(nèi)的圖象，而g(x)的圖象也是不難畫出的.最困難的就在于對(duì)于[9,10]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，我們用眼睛是無法觀察出來的.在[9,10]內(nèi)，f(x)=1-(x-10)2，g(x)=lgx，思路就是構(gòu)造一個(gè)函數(shù)p(x)=g(x)-f(x)，對(duì)構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得出其在此區(qū)間上的單調(diào)性，令x0為p′(x)的根，最終求得x0∈[9,10]，故p(x)在[9,10]上是先減后增的，且求得p(9)>0，p(10)=0，因此可得出函數(shù)在(9,x0)內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，再結(jié)合之前的零點(diǎn)，我們可以算出一共是19個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)撥 本題利用數(shù)形結(jié)合的思想固然沒錯(cuò)，但是如果過于依賴圖形傳遞的信息肯定是不行的，[9,10]內(nèi)我們是很難畫的十分準(zhǔn)確的，我們也不能用這種方法解決此類問題，必須用計(jì)算的數(shù)值準(zhǔn)確確定特殊點(diǎn)的數(shù)值.

二、給出零點(diǎn)，反求參數(shù)范圍

此類問題經(jīng)常并不會(huì)給零點(diǎn)的具體數(shù)值，而是給出是否存在零點(diǎn)或零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，讓我們求函數(shù)式中參數(shù)的范圍，并且這類問題通常都是兩個(gè)函數(shù)或多個(gè)函數(shù)相結(jié)合的情況，學(xué)生要巧妙地利用數(shù)形結(jié)合求出問題答案.

(1)若函數(shù)p(x)=g(x)-m存在零點(diǎn)，求m的取值范圍；

(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根，求m的取值范圍.

解析 兩個(gè)函數(shù)分別是二次函數(shù)以及對(duì)號(hào)函數(shù)，都是我們學(xué)習(xí)過程中常見的函數(shù)類型，我們對(duì)于其性質(zhì)以及圖象的畫法應(yīng)該掌握得很清楚，因此第一問只需要求出g(x)的最小值，并且保證m的值大于或者等于這個(gè)最小值即可，故得出m≥2e.而在第二個(gè)問中，不同的相異實(shí)根就是說明兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)圖象，如圖所示，只要保證f(x)的最大值大于g(x)的最小值即可.因此有m-1+e2>2e，故m的取值范圍是(2e-e2+1,+∞).

點(diǎn)撥 本題中不同的兩種問法其實(shí)最終解題的思路是相同的，這就是函數(shù)零點(diǎn)問題的巧妙之處，不同的出題方式容易讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，如果學(xué)生對(duì)概念以及知識(shí)掌握得不牢固，很容易出現(xiàn)無從下手的情況.

三、巧用圖象，求出零點(diǎn)數(shù)值

如果單一的求一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)值其實(shí)是不用數(shù)形結(jié)合思想的，但是倘若將兩個(gè)函數(shù)相結(jié)合，求兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)的和就需要認(rèn)真考慮了，因?yàn)檫@種題都是需要技巧性的，通過常規(guī)的求解是很難得出正確答案的，這就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的好處.

例3 若有兩個(gè)函數(shù)f(x)=ex+x-3和g(x)=lnx+x-3，零點(diǎn)分別是x1、x2，求x1+x2的值.

解析 觀察兩個(gè)函數(shù)，通過常規(guī)的求解我們幾乎不能求出兩個(gè)函數(shù)的數(shù)值.如果要在坐標(biāo)系中直接畫出兩個(gè)函數(shù)的圖形也是很困難的，因?yàn)檫@并不是我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)，更不用說把他們結(jié)合在一起了.但細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，令兩個(gè)函數(shù)分別為0后，就得出ex=-x+3以及l(fā)nx=-x+3兩個(gè)等式都有-x+3，并且ex與lnx是互為反函數(shù)，兩個(gè)圖象是關(guān)于y=x對(duì)稱的.如果把上面這四個(gè)函數(shù)分別畫在同一個(gè)坐標(biāo)系中，我們就會(huì)得到兩條互相垂直的直線以及兩個(gè)對(duì)稱的函數(shù)的圖象了.設(shè)直線與對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，很顯然兩點(diǎn)也是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的.因此有x1+x2=x1+y1=3.

點(diǎn)撥 對(duì)稱性是本題中解題的最大亮點(diǎn)，題目對(duì)于學(xué)生的思維能力創(chuàng)新有很大的考驗(yàn)，學(xué)生一定要有靈活的思維方式才能找出此題正確的解題方法.本題將數(shù)形結(jié)合展現(xiàn)的淋漓盡致，綜合考查了學(xué)生的解題能力.

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1008-0333(2017)01-0062-01