化歸思想在數學解題中的應用

廣東省湛江一中培才學校(524000)

劉倩倩●

化歸思想在數學解題中的應用

廣東省湛江一中培才學校(524000)

劉倩倩●

通常在處理和解決數學問題時，總的指導思想就是把問題轉化為能夠解決的問題，這就是化歸思想.化歸思想方法是數學研究問題的一種基本思想方法.本文將通過幾道例題，具體說明化歸思想在數學解題中的應用.

化歸思想；數學；應用

教學思想方法是基于數學知識，又高于教學知識的一種隱形教學知識，回顧我們處理數學問題的過程和經驗會發現，我們常常將待解決的陌生問題通過轉化，歸結為一個比教熟悉的問題來解決，這就是化歸[1].

在數學解題過程中，若能有效運用化歸思想，將使復雜問題得以簡化，降低解題難度.下面將舉例說明化歸在解題中的具體應用.

一、引入未知量，轉化為方程求解

例1 雞兔同籠，共有頭30個，足86只，求雞兔各有多少只.

這是關于雞兔同籠的問題，它還有很多同類型變式，比如：在一個停車場上，停了汽車和摩托車一共32輛.其中汽車有4個輪子，摩托車有3個輪子，總共有108個輪子，問汽車和摩托車各多少輛等等諸如此類的應用題.

這類問題是小學中常出現的問題，也是小學生較難理解的問題之一.教師要想對小學生講解清楚，也頗為復雜.但如果稍稍引入未知量，設雞x只，用(30-x)表示兔容易理解多了.根據題意列出方程組，將原命題轉化為方程組求解，會讓問題變得非常簡單.

二、巧設編碼，將問題轉化為符號

例2 有200名同學到禮堂開會，禮堂前的臺階共8階，這些同學每次邁1階或2階.走完這段臺階，至少有多少同學邁的情況完全相同？

初看此題，學生會覺得很復雜，以致無從下手，即使有的同學能想到是排列組合問題，卻也苦于沒有組合模型.這時，就需要啟用化歸思想了，將其轉化為我們所熟悉的事物或模型了，從題中可分析：“每次邁1階或則邁2階”，那么邁2階時則必有1階是踏空的，不難想到，這與計算機的編碼是類似的，于是，我們可將其符號化為：記踏著的臺階為1，否則為0；如：某同學每次邁2階，則記為：01010101.那么，問題就轉化為學生熟悉的排列組合模型了.

可見，引入符號化，有效利用化歸思想，將大大降低問題的難度，同時有助于學生理解與記憶，為后續高等數學的教學打下基礎.

三、引入函數表達，巧解不等式

例3 解不等式：x3-6x2+3x+10>0.

關于不等式，初等數學中的解題方法大多是移項或分解等，而常規方法對于此題卻比較麻煩，如果引入函數表達式，令y1=x3，y2=6x2-3x-10，則將此題轉化為求y1>y2的x取值范圍，問題便好解了.

當然，關于引入函數表達式的妙用，在解函數應用題時將能更好的凸顯出來.這里就不再另外舉例了.

四、構造已知公式，簡化證明題

例4 設x、y、z∈R，且x+y+z=1，求證x2+y2+z2≥1/3.

對于這種題型，通常難以直接入手，而如果對柯西不等式較為熟悉，那么就可以通過構造公式，將問題轉化為柯西不等式的變式.

具體到該題，則由柯西不等式的推論：[(a1+a2+…+an)/n]2≤(a12+a22+…+an2) /n(當且僅當a1=a2=…=an時，等式成立)可知：

(x2+y2+z2)/3≥[(x+y+z)/3]2，因為x+y+z=1，所以(x2+y2+z2)/3≥1/9，化簡即得原命題.

不僅在做證明題如此，在運算時更是如此.如等差數列、等比數列的公式等，就大大簡便了相關運算.因此，如果熟知各類公式，對于解題是非常有幫助的.

五、通過語義轉換，將復雜問題簡單化

化歸將復雜問題與簡單問題有效轉化，將初等數學與高等數學有機結合，透過表象透析本質，形成有價值的解題思路，從數學角度，它體現一種基本的數學思路，從教師角度它體現了一種有效的教學方法，從學生角度它培養了學生的解題能力和思維能力，有助于將初高等數學知識融會貫通、靈活運用.

教師在教學教學中應有意識地培養學生的化歸思想，根據具體教學內容，通過滲透、介紹、強調等不同方式，讓學生體驗學習這一思想方法.同時，教師還需要不斷提高自我水平.只有自己融會貫通各種數學思想方法，才能言簡意賅地傳授給學生，幫助學生打開數學思維殿堂的大門.

[1] 錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，1999.

[2]任文龍,王奇,李慧.高觀點下的初等數學不等式[J].甘肅聯合大學學報(自然科學版),2008(5)：51-52.

[3]張奠宙，鄒一心.現代數學與中學數學[M].上海：上海教育出版社,1990.

[4]李莉，李永杰.中學代數研究與教學[M].鄭州：鄭州大學出版社，2007.

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