例說求參數(shù)取值范圍的六種方法

云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

蘇保明●

例說求參數(shù)取值范圍的六種方法

云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

蘇保明●

眾所周知，由于導數(shù)的引入，為我們研究函數(shù)的性質及求參數(shù)的取值范圍等問題添增了強有力的解決工具，而運用構造函數(shù)的方法，利用導數(shù)解決函數(shù)中恒成立問題是非常有效的方法.其中利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍是近年來新課標高考命題的熱點問題之一.本文舉例剖析求參數(shù)取值范圍的六種方法，供參考.

方法一 構造差函數(shù)

當a>0時，若對?x∈(1,e)，f(x)>x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解 可知：不等式f(x)-x>0在(1,e)恒成立.

當0

因為h(e)=a+1-e<0不符合題意，所以0

當10在(1,e)恒成立，所以h(e)≥0,即a≥e-1,所以e-1≤a

當a≥e時，因為10,所以函數(shù)h(x)在(1,e)上單調遞增，所以h(x)>h(1)=0符合題.

綜合上述可知：實數(shù)a的取值范圍是[e-1,+∞).

評注 構造差函數(shù)是解決恒成立問題的一般方法.此題需要對參數(shù)a進行分類討論，因為所給區(qū)間(1,e)的端點1和e把定義域(0,+∞)分為三段，所以參數(shù)a需要分a≤1、1

方法二 分離參數(shù)后構造新函數(shù)

方法三 變形后構造新函數(shù)

若對任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)

評注 此題需要把f(x1)-f(x2)

方法四 分離最值與參數(shù)后構造新函數(shù)

則h′(x)=1-x-2xlnx，顯然h′(1)=0.

所以，當x=1時，函數(shù)h(x)取得最大值h(1)=1，

方法五 商式變差后構造新函數(shù)

評注 上述“漂亮”解法簡潔易懂，其最大優(yōu)勢就在于避開了對待定系數(shù)a的分情況討論，減少了復雜的運算.此法是通過化歸與轉化的數(shù)學思想方法，把原問題轉化為求函數(shù)的最值問題，并通過函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值，進而巧妙地求出參數(shù)的取值范圍，其中構造新函數(shù)g(x)=lnx-x+1是解決本題的關鍵所在.要正確構造新函數(shù)g(x)=lnx-x+1，這是以“當x>1時，x-1>lnx>0”為依據(jù),否則此題的“漂亮”解就不存在了.因此在平時的解題過程中必須有意識地記下一些常用而不能直接用的結論，如(1)當x≥1時，x-1≥lnx≥0;(2)當x∈R時，ex≥x+1(當且僅當時x=0取等號)，等等，才能在解題中靈活運用，從而找到解決問題的最佳方法.

方法六 二階導數(shù)法

若對任意x≥0都有f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解 可得f′(x)=ex-a-x，f″(x)=ex-1.

令f″(x)=0，則x=0，

當x≥0時，f″(x)=ex-1≥0，所以f′(x)在[0,+∞)上單調遞增，所以f′(x)≥f′(0)=e0-a-0=1-a.

(1)當a≤1時，f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)上單調遞增，所以f(x)≥f(0)=0，符合題意；

(2)當a>1即1-a<0時，存在x0∈[0,+∞)，使f′(x)=0，即當0≤x1應舍去.

綜合上述可知，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].

評注 若對函數(shù)進行求導后，不能較清晰、快速的判斷導函數(shù)的符號，難以判斷函數(shù)的單調性，則應繼續(xù)對導函數(shù)再求導，利用二階導數(shù)來研究一階導數(shù).此題因對f(x)求導后不能判斷導函數(shù)f′(x)=ex-a-x的符號，故應對導函數(shù)f′(x)再進行求導，并通過二階導數(shù)的符號來判斷一階導數(shù)的單調性，再利用一階導數(shù)的最值可知符號，進而判斷原函數(shù)的單調性，使問題得到圓滿解決.因此利用二階導數(shù)研究函數(shù)的性質有時會呈現(xiàn)出柳暗花明的局面，從而達到事半功倍的解題效果.

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1008-0333(2017)01-0026-02