問渠那得清如許為有源頭活水來
——由課本例題探究有心圓錐曲線的性質及其應用

浙江省杭州市富陽區新登中學(311404)

陳國清●

問渠那得清如許為有源頭活水來
——由課本例題探究有心圓錐曲線的性質及其應用

浙江省杭州市富陽區新登中學(311404)

陳國清●

一、例題展現

圖1

人教A版數學選修2-1第41頁例3

二、引申探究

探究1 斜率之積為常數的點的軌跡及常數與離心率的關系

探究 設動點P(x,y)，兩定點A1(-a,0)、A2(a,0)，直線PA1、PA2的斜率之積k1·k2=t，求點P的軌跡，并探究t與離心率e之間的關系．

1°若t=0，方程為y=0(x≠±a)，點P的軌跡為x軸(不包括A1、A2)．

1若t>0，點P的軌跡是以A1A2為實軸的雙曲線(不包括A1、A2)；

②若-1

③若t=-1，點P的軌跡是以A1A2為直徑的圓(不包括A1、A2)；

∵圓的離心率e=0，∴t=e2-1．

④若t<-1，點P的軌跡是以A1A2為短軸的橢圓(不包括A1、A2)；

因此，平面內與兩定點連線的斜率之積為常數t的點的軌跡不一定是橢圓，但當t≠0時，它們同為有心圓錐曲線．

結論1 當t=-1時為圓；當t<0且t≠-1時為橢圓；當t>0時為雙曲線．

探究2 圓的性質推廣到其他有心圓錐曲線

圓具有以下性質：

(1) 如圖2，過圓心的直線l與圓交于A、B兩點，P為圓上不同于A、B的任意一點，則PA⊥PB,即kPA·kPB=-1；

(2)如圖3，經過弦中點的半徑OP與弦AB垂直，即kAB·kOP=-1；

(3)如圖4，過圓上任一點P引切線l，則OP⊥l，即kOP·kl=-1．

探究 橢圓、雙曲線與圓同為有心圓錐曲線，是否具備類似性質？下面以焦點在x軸上的橢圓為例探究．

證明 設P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(-x1,-y1)，∵點A、P在橢圓C上，

證明 設P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

以上是焦點在x軸上的有心圓錐曲線，焦點在y軸上的有心圓錐曲線與此相似，不過此時結論為斜率倒數之積等于e2-1．

三、高考應用

證明 設P(x1,y1)，B(x2,y2)，則A(-x1,-y1)，C(x1,0)．

∴kPA·kPB=2kAB·kPB=-1，故PA⊥PB.

點評 此題考查斜率的求法，以及直線與橢圓的位置關系，體現了方程思想和數形結合思想，難度較大．但如果了解了有心圓錐曲線的性質，題目便變得迎刃而解．

已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標．

∵點P在第一象限，且k<0，

點評 此題如果聯立方程利用Δ=0當然也可以做，但是計算量很大，用時較長；而利用橢圓性質，則簡直可以秒殺．對于分秒必爭的高考而言，哪種方法更好不言而喻．

四、總結啟迪

通過課本例題探究有心圓錐曲線的性質，并利用性質解決高考題，我們可以從中得到以下啟示：

1.對于一個數學問題，我們不僅要引導學生去探究方法的巧思妙解，更要引導學生探討問題所蘊含的的數學本質，讓題目會“說話”．例題課堂教學中不斷變換角度，盡量發揮例題的輻射作用，是激活學生數學思維的一種重要途徑．對例題進行引申探究，以期構建動態生成，繼而挖掘其潛在的智能訓練因素：或啟迪思路，提煉方法；或引申問題，豐富內涵；或串聯知識，擴大成果，從而彰顯我們的數學智慧．

2.課本是最重要的教學資源，課本中的例、習題是編者依據課程標準精心挑選且具有代表性的問題，是問題中的精華，也頗受高考命題專家的青睞，所以說教材是高考命題的源頭．面對高考，我們不僅要研究考試說明，更要重視教材，深入研究教材，挖掘題根，徹底了解問題的本質,這樣才能以不變應萬變，在高考中做到問渠那得清如許，為有源頭活水來．

[1]蘇立標. 落霞與孤鶩齊飛 秋水共長天一色——2012浙江高考解析幾何試題的本源探討[J].中學數學(上)，2012(9).

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1008-0333(2017)01-0023-02