用“分離函數法”求參數取值范圍

廣東省惠州市華羅庚中學(516000)

王健發●

用“分離函數法”求參數取值范圍

廣東省惠州市華羅庚中學(516000)

王健發●

本文從參變分離、分離一次函數、分離二次函數、分離指數函數、分離對數函數五種角度來求參數取值范圍.

一、參變分離

評注 分離參數, 利用“a≥f(x)在x∈D上恒成立, 則a≥[f(x)]max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立, 則a≤[f(x)]min(x∈D)”.

二、分離一次函數

例2 已知函數f(x)=ex-kx,k∈R, 其中e為自然對數的底數. 若k>0, 且對于任意的x∈R,f(|x|)>0恒成立, 試確定實數k的取值范圍.

解 因為函數y=f(|x|)為偶函數, 所以對于任意的x∈R,f(|x|)>0恒成立等價于f(x)>0對任意的x≥0恒成立, 即曲線y=ex位于直線y=kx的上方.

由導數法可知, 曲線y=ex過點O(0,0)的切線方程為y=ex, 所以k0, 得實數k的取值范圍為(0,e).

評注 分離一次函數, 轉化為過定點的直線與曲線相切, 利用導數求出切線的斜率, 從而達到求參數取值范圍.

三、分離二次函數

例3 已知函數f(x)=ex-1-x-ax2.

(2)當x>0時,f(x)≥0恒成立等價于ax2≤ex-1-x在區間(0,+∞)恒成立.

令y1=ax2,y2=ex-1-x, 即當x>0時, 函數y2=ex-1-x的圖形恒在y=ax2的圖形及上方.

因為當x>0時,y2′=ex-1>0, 所以函數y2=ex-1-x在(0,+∞)單調遞增.

評注 通過分離二次函數, 考慮為二次函數的圖形與另一函數圖象的位置關系, 再利用數形結合求參數的取值范圍.

四、分離對數函數

設h(x)=x2+(2-4a)x+1,Δ=(2-4)a2-4=16a(a-1).

(1)若a∈(0,1], 則Δ≤0,h(x)≥0,g′(x)≥0,所以g(x)在(0,1)內單調遞增, 又g(1)=0, 所以g(x)

(2)若a∈(1,+∞), 則Δ>0,h(0)=1>0,h(1)=4(1-a)<0, 所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0, 對任意x∈(x0,1),h(x)<0,g′(x)<0. 則g(x)在(x0,1)內單調遞減, 又g(1)=0, 所以當x∈(x0,1),g(x)>0, 不合要求.

綜合(1)(2)可知a的取值范圍是(0,1].

五、分離指數函數

例5 已知方程xex=x+2在區間[k,k+1]上有解, 求整數k的值.

評注 對于指數函數、對數函數等比較復雜的函數與一次函數、二次函數的積或商，有些通過分離參數之后，因為求導運算的復雜性將很難達到求參數取值范圍的目的，而通過將lnx和ex分離出來，簡化導數運算從而達到問題求解.

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1008-0333(2017)01-0007-01