基于分數布朗運動的亞式期權定價

潘娣

摘要：給出了分數布朗運動下的幾何平均亞式期權定價的數學模型，通過熱傳導方程得到了亞式期權價值的解析表達式。利用數值算例討論了：赫斯特指數、無風險利率及敲定價格對期權價值的影響.

關鍵詞：亞式期權；分數布朗運動；數值算例

中圖分類號：F830 9；O211 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2017）010-0-02

引言

期權是指以確定的價格在確定的時間購買或出售確定數量的其標的資產的權利。在期權合約中，確定的價格為敲定價格，確定日期為到期日。而看漲期權指在一定的時間以確定的價格購買某項資產的權利，看跌期權則表示賣出該資產的權利。

1973年，Black， Scholes[1]和Merton[2]推導出了古典的Black-Scholes模型，他們設金融衍生產品價值V（St，t）滿足如下的方程

這里St表示股票在t時刻的價格，σ為波動率，r為市場中的無風險利率。在模型求解中，結合了終值條件V（ST，T）=max（ST-K，0），其中D為執行價格，T為到期日，那么得到歐式看漲期權價值的解析表達式[1]

N（x）為累積標準正態分布函數。Fama[3]在1965年指出，資產價格具有長期依賴性，由于分數布朗運動是連續的高斯過程，有長期依賴性，所以它能夠更精確的描述出金融資產的變化。

Rogers[4]發現分數布朗運動路徑積分理論下的市場存在著套利機會。2003年，Hu和Oksendal[5]推導出了分數Girsanov公式（情形）和分數公式，并驗證了此積分對應的市場沒有套利機會。

亞式期權是一張期權合約，它在到期日的收益依賴于整個期權有效期內的資產價格的平均值，這種路徑依賴型期權不僅減少了價格變動所帶來的影響，也可以準確的反映股票價格變化的趨勢，根據計算亞式期權價格方法的不同，可以分為算術平均亞式期權和幾何平均亞式期權，根據到期日收益的不同，可以分為固定敲定價格和浮動敲定價格兩類。

一、亞式期權價值的數學模型

假設（H1）標的資產價格St滿足如下隨機微分方程

這里μ和σ都為常數，分別表示資產的預期收益率和波動率，為的分數布朗運動；（H2）投資組合的期望回報率與無風險利率相等；（H3）不存在無風險套利機會；（H4）證券是連續交易，不存在紅利、稅收且不需支付交易費用。

設幾何平均亞式看漲期權在t時刻的價值為V=V（t，Jt，St），其中為標的資產價格在上的幾何平均值. 構造一個投資組合：1份幾何平均亞式標的資產看漲期權多頭、份標的資產

令那么我們可以得到下面的亞式期權價值的數學模型，

定理2.1假設標的資產價格St滿足分數布朗運動（2.1），則執行價格為K、到期日為T的幾何平均亞式看漲期權在時刻的價值滿足如下數學模型：

二、模型求解

定理3.1假設標的資產價格滿足（2.1），則執行價格為K、到期時間為T的幾何平均亞式看漲期權在t時刻的價值為

證明 由定理2.1可知，幾何平均亞式看漲期權在時刻的價值滿足模型（2.6）。令

根據熱傳導方程經典解理論[6]，（3.1）式的解可寫為

三、數值算例

本節將利用定理3.1的定價公式進行數值實驗。我們設一只標的資產為股票的歐式亞式期權的股票價格服從（2.1）公式中的分數布朗運動。規定其標的股票價格為80元，執行價格為80元，一年到期，年波動率為0.4，無風險利率為0.05. 即：

圖4.1給出了不同的無風險利率下亞式看漲期權價值的變化圖。因為實際情況下的利率的變化很微小，所以為了圖像的區分度，我們選取的4組利率值變化較大。由圖可以看出，隨著利率變大，看漲期權的價值也在變大，因為無風險利率的增大會使得標的資產價格在到期日的期望收益變大。從圖4.2我們可以看出，敲定價格與漲期權價值成反比，即看漲期權的價值隨著敲定價格的遞增而減少。

圖4.3

圖4.3給出了不同赫斯特指數下標的資產價格與亞式看漲期權價值的關系，由圖可知，隨著赫斯特指數的增大，看漲期權價值在變小。

四、結語

本文主要運用證券組合技術和無套利原理，研究了分數布朗運動下的亞式期權定價問題。應用熱傳導方程對該模型進行求解，得到了亞式期權價值的解析表達式，通過數值算例得出各參數對亞式期權的價值都有影響。

參考文獻：

[1]Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81： 637-659.

[2]Merton M C. Theory of rational option pricing[J]. Journal of Economics and Management Science， 1973， 4： 141-183.

[3]Fama E. The behavior of stock market prices[J]. The Journal of Business， 1965， 38： 34-105.

[4]Rogers L C G， Shi Z. The value of an Asian option[J]. Journal of Applied Probability， 1995： 1077-1088.

[5]Hu Y， ?ksendal B. Fractional White Noise Calculus and Application to Finance[J]. Infinite Dimensional Analysis， Quantum Probability and related Topics. 2003， 6： 1-32.

[6]Necula， C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J]. Academy of Eco- nomic Studies Bucharest， Romania， Preprint， Academy of Economic Studies， Bucharest， 2002， 27： 8079-8089.

基金項目：安徽三聯學院平臺基金重點項目，項目號：PTZD2017004。