以形助數(shù) 化難為易

王國(guó)俊

以形助數(shù) 化難為易

王國(guó)俊

數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，在初中數(shù)學(xué)中大量存在，借助數(shù)形結(jié)合的思想，特別是以形助數(shù)，往往能夠化難為易，豁然開(kāi)朗.

1.利用線(xiàn)段圖找數(shù)量關(guān)系

例1 強(qiáng)強(qiáng)的舅舅來(lái)看他，強(qiáng)強(qiáng)問(wèn)舅舅多少歲了，舅舅說(shuō)：“我像你這么大時(shí)，你才4歲；你到我這么大時(shí)，我就37歲了.”問(wèn)強(qiáng)強(qiáng)和舅舅現(xiàn)在各多少歲？

【分析】若A點(diǎn)表示強(qiáng)強(qiáng)現(xiàn)在的年齡，B點(diǎn)表示舅舅現(xiàn)在的年齡，設(shè)他們年齡相差x歲，如圖1.

圖1

由“我像你這么大時(shí)，你才4歲”可知，當(dāng)舅舅的年齡在A點(diǎn)位置時(shí)，強(qiáng)強(qiáng)的年齡位置如圖2所示，且AB=A′B′，因?yàn)閺?qiáng)強(qiáng)和舅舅的年齡差不變．此時(shí)點(diǎn)A′表示強(qiáng)強(qiáng)的年齡為4歲．

圖2

由“你到我這么大時(shí)，我就37歲了”可知，當(dāng)強(qiáng)強(qiáng)的年齡在B點(diǎn)位置時(shí)，舅舅的年齡位置如圖3所示，同理AB=A″B″，此時(shí)點(diǎn)B″表示舅舅的年齡為37歲．

圖3

由題意可得方程4+3x=37，解之得x=11，故強(qiáng)強(qiáng)的年齡為15歲，舅舅的年齡為26歲.

2.構(gòu)造符合題意的幾何圖形解題

【分析】如圖4，若大正方形的面積為1，首先構(gòu)造大正方形面積的一半，得到面積為，

圖4

例3 請(qǐng)根據(jù)下圖計(jì)算：1+3+5+7+…+ 99=______.

圖5

圖6

圖7

圖8

【分析】結(jié)合圖形，圖6比圖5多3個(gè)小正方形，因此圖6可以看成1+3=22，

依此類(lèi)推，圖7可以看成1+3+5=32，

圖8可以看成1+3+5+7=42，

……

故1+3+5+7+…+99=502.

例4 如圖9所示，C為線(xiàn)段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；

（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿(mǎn)足什么條件時(shí)，AC+CE的值最??？

圖9

（2）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、C、E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，AC+CE的值最小，圖10中點(diǎn)C′的位置.

圖10

圖11

3.借助圖像解決函數(shù)問(wèn)題

例5 若點(diǎn)A（x1，1）、B（x2，2）、C（x3，－3）在雙曲線(xiàn)y=-上，則（ ）.

A.x1＞x2＞x3B.x1＞x3＞x2

C.x3＞x2＞x1D.x3＞x1＞x2

圖12

【分析】本題可以代入求值比較大小，亦可構(gòu)建該函數(shù)的圖像，分別畫(huà)出y=1，2，-3的點(diǎn)的位置，根據(jù)圖像可以直觀看出x1，x2，x3的大小，結(jié)果為x3＞x2＞x1.

例6 用min｛a，b，c｝表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值，若y=min｛x2，x+2，10-x｝（x≥0），則y的最大值為 .

【分析】分別畫(huà)出函數(shù)的圖像，如圖13，分別求出當(dāng)x≥0的交點(diǎn)坐標(biāo)，觀察圖像可知，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=x2；當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y=x+2；當(dāng)x＞4時(shí)，y=10-x.

圖13

因此滿(mǎn)足條件的圖形如下圖14所示，

則當(dāng)x=4時(shí)y的最大值為6.

圖14

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)直溪初級(jí)中學(xué)）