利用方程思想解決幾何問題

潘 霞

利用方程思想解決幾何問題

潘 霞

著名的數學家笛卡爾在《思維的法則》中提出過一個解決各種問題的“萬能方法”：任何問題→數學問題→代數問題→方程求解.方程思想被廣泛應用，內涵豐富，是研究數量關系的重要工具.用方程思想解決幾何問題，我們要先設未知數，用未知數表示已知量，再通過分析題目中蘊含的等量關系，利用所學的定理、性質等找出等量關系，用方程的形式將其表示出來，從而實現用方程有效地解決幾何問題的目的.

一、列方程求角的度數

例1（母子等腰三角形）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，AD=BD=BC，求∠A的度數.

圖1

【分析】求角的度數，但題目條件中沒有出現任何一個角的度數，那么就需要根據邊相等得到角之間的關系，如果我們設∠A的度數為x，則圖中其余各角用含x的代數式在圖中標出，根據三角形內角和為180°列出方程，從而求得∠A的度數.

解：如圖1，設∠A的度數為x，

∵AD=BD，∴∠ABD=x，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x.

∵BD=BC，∴∠C=2x.

∵AB=AC，∴∠ABC=2x.

∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠A=36°.

【點評】等腰三角形中求某個角的度數時，通常都可以根據“三角形內角和公式、外角的性質、等腰三角形的性質”等找到等量關系，列出方程解決.

二、列方程求線段的長度

例2（母子直角三角形）如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4，求CD的長.

圖2

【分析】母子直角三角形，大家非常熟悉，首先利用勾股定理求出AB的長為5.

方法一：等面積法列方程，利用不同方法表示Rt△ABC的面積，建立方程：5×CD=×3×4，求出CD的長.

方法二：勾股定理列方程，將Rt△ACD和Rt△BCD的公共線段CD分別放在兩個直角三角形中，設AD=x，則BD=5-x，利用勾股定理表示CD2，建立方程：32-x2=42-（5-x）2，求出CD的長.

方法三：根據相似圖形對應線段成比例列方程，由△ACD∽△ABC，得到，建立方程：，求出CD的長.

方法四：根據相等角的三角函數相等，也可以建立方程，將∠A分別放在△ACD、△ABC中，其正弦值相等，得到，建立方程：，求出CD的長.

【思考】你會幾種方法解這道題？你覺得哪種方法比較簡便？嘗試從不同角度去認識這個基本圖形，當然方法優化很重要.

三、中考試題掠影

例3（2014·郴州）如圖3，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一點，將矩形ABCD沿CE折疊后，點B落在AD邊的點F上，則BE的長為 .

圖3

圖4

【分析】這是折疊問題，根據折疊性質，得到一些相等的線段、相等的角，同學們可以試著在圖上把能表示的線段、角標出來.CF=BC= 10，CD=8，易得DF=6，AF=4，如果設BE=x，則EF=x，AE=8-x，∠EFC=∠B=90°，如圖4.

方法一：在Rt△AEF中，利用勾股定理可建立方程：42+（8-x）2=x2，即可求出BE的長.

【點評】善于找到題目中隱含的等量關系是關鍵，通常我們根據勾股定理、相似三角形對應線段成比例、面積、三角函數等來建立方程.

例4（2015·威海）如圖5，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E.（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE= 3，求AC的長.

【分析】（1）要求BE=CE，題目告訴我們AB=AC，立刻想到等腰三角形三線合一，只要證明AE⊥BC即可.連接AE，直徑AC所對的圓周角為直角.（2）如圖6，若BD=2，BE=3，則CE= 3.連接CD，直徑AC所對的圓周角為直角，在Rt△BCD中，可求得CD的長，在Rt△ACD中，設AC=x，根據勾股定理建立方程：（42）2+（x-2）2=x2，即可求出AC的長.

圖5

圖6

【答案】AC=9.

【思考】還有其他方法求解嗎？面積法能解嗎？這道題我們是根據什么等量關系列方程的？

例5（2015·泰安模擬）如圖7，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6），點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒.

圖7

（1）求直線AB的解析式；

（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似？

【分析】看上去是函數問題，實際上只是幾何問題給了一個函數背景，實質還是幾何問題.

（1）待定系數法解決；

（2）△APQ與△AOB相似，沒有明確對應關系，需要分類討論，可以分成△APQ∽△AOB或者△APQ∽△ABO，建立方程求出t；

圖8

【解】（1）直線AB的解析式為：y=-34x+6.

（2）如圖8，∵AO=6，BO=8，∴在Rt△AOB中，根據勾股定理求得AB=10，∵運動時間為t秒，∴AP=t，AQ=10-2t.①若△APQ∽△AOB，則即：，解得（秒）；②若△APQ∽△ABO，則AP=AQ，ABAO即：，解得（秒）.

△AOB相似.

（3）如圖9，過點Q作QE⊥AO于點E.

圖9

∴在Rt△AEQ中，

∵S△APQ=24，5

解得t=2（秒）或t=3（秒）.

在用方程解決幾何問題中，我們要注意：1.先把已知條件標到圖中，設未知數，用含未知數的代數式表示其余角或線段；2.利用圖形的性質或定理，找到圖中蘊含的等量關系，列出方程，解決問題；3.我們平時要有應用方程解決問題的意識，讓方程成為我們解決幾何問題的好幫手.

小試身手

1.如圖10，在等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交另一腰AC于點E，若∠EBC=15°，則∠A=______.

圖10

2.如圖11，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8.將△ABC沿DE折疊，使點C落在AB邊上的C′處，并且C′D∥AC，則CD的長是多少？

圖11

3.如圖12，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D.（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半徑.

圖12

（作者單位：江蘇省常州市金壇區白塔中學）

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