整體思想在解題中的巧用

吳粉連

整體思想在解題中的巧用

吳粉連

有一些數學問題，如果從局部入手，難以各個突破，但若能從宏觀上進行整體分析，運用整體思想方法，則常常能出奇制勝，簡捷解題.

整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法.整體思想的主要表現形式有：整體代換、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊、整體構造等等.在初中數學中的數與式、方程與不等式、函數與圖像、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應用，因此，每年的中考中涌現了許多別具創意、獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創新意識方面具有獨特的作用.下面就初中數學中整體思想的應用及解題策略談一些看法和體會.

一、整體代換

整體代換是根據問題的條件和結論，選擇一個或幾個代數式，將它們看成一個整體，靈活地進行等量代換，從而達到減少計算量的目的.

例1 已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2= 2009，且abc=24，求的值.

【解析】由已知解出a、b、c的值再代入求解，計算將很復雜，因此選擇如下的整體代換：

由已知可得：a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，則原式

二、整體設元

整體設元是用新的參元去代替已知式或已知式中的某一部分，從而達到化繁為簡、化難為易的目的.例2 計算

【解析】本題數據較多，直接計算顯然無法進行，注意到題中出現的相同算式，因而考慮整體設元.

三、整體變形

整體變形是將問題中某些局部運算作整體變形處理，使之呈現規律性的結構形式，從而達到簡化問題或減少運算量的目的.

【解析】觀察式子特點，用湊整法可簡化運算.

四、整體補形

整體補形是根據題設條件將原題中的圖形補足為某種特殊的圖形，創造題設條件與特殊圖形之間的關系，從而突出問題本質，找到較簡潔的解法或證法.

例4 如圖1，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積.

圖1

【解析】這是一個不規則的四邊形，欲求它的面積，可把它補成三角形或規則的四邊形，所求圖形的面積恰是兩個圖形面積的差.

延長AD、BC相交于點E，如圖1，

在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=2，

∴BE=AB·tanA=23，

Rt△CDE中，CD=1，

∠ECD=180°-∠BCD=60°，

∴DE=CD·tan∠ECD=1×tan60°= 3.

S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE==

【說明】本題還可以把原四邊形補成一個矩形、直角梯形、等邊三角形或平行四邊形，如圖2、圖3、圖4、圖5.

圖2

圖3

圖4

圖5

五、整體配湊

整體配湊是將問題中的條件和結論進行適當的配湊，使之結構形式特殊化、公式化，再利用相關性質進行求解，以達到解答問題的目的.

例5 若a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ ca，則a+b2+c2= .

【解析】要求a+b2+c2的值，需求a、b、c的值，但已知等式只有兩個，若按常規方法是無法解決的.注意到a2+b2+c2=ab+bc+ca，可采取整體配湊的方法，借助于非負數的性質，找出a、b、c之間的關系，再利用a+2b+3c=12就可以求出a、b、c的值.事實上，由a2+b2+c2=ab+bc+ca，有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，故a=b=c，將之代入a+2b+3c=12，得a=b=c=2，故a+b2+c2=10.

六、整體構造

整體構造是把問題中某些代數式賦予具體的幾何意義，構造出幾何圖形，利用數形結合的思想來解答問題.

圖6

（作者單位：江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校）