以“將軍飲馬”之例妙解“最短距離和”

高 萍

以“將軍飲馬”之例妙解“最短距離和”

高 萍

親愛的同學，你知道“將軍飲馬”的問題嗎？據說一位古羅馬將軍遇到一個百思不得其解的問題：如圖1，將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？聰明的你，一定能輕松地解決這個問題——如圖2，作點A關于河岸的對稱點A′，連接A′B，交河岸所在直線于點P，則將軍沿著AP+PB的路線走是最短的.

圖1

圖2

但是，你知道為什么要這樣做嗎？作點A的對稱點A′，依據對稱的性質可知AP=A′P，要使得AP+PB最短，只要A′P+PB最短就可以了.而當A′P和PB在同一條直線上時，A′P+PB的和是最短的——因為兩點之間線段最短.

請注意，在解決這個古老的經典問題——“求最短距離和”時，最關鍵的思想是把其中的一條線段AP轉化為A′P，使得求和的兩條線段AP和PB在轉化后有可能在同一直線上，當它們在同一直線上時，距離和就最短.最有用的經驗是，作了定點關于動點所在直線的對稱點，使得轉化得以實現.

好了，數學的魅力馬上就要展現！請耐心向下看：

例1 如圖3，在正方形ABCD中，AE平分∠DAC，P、Q分別是AD、AE上的動點，則P、Q位于何處時，PQ+QD最短？若正方形的邊長為5，求PQ+QD的最短距離和.

圖3

【分析】要使PQ+QD最短，可轉化其中的某一條線段，使轉化后的兩條線段有可能在同一條直線上.P、Q兩點均為動點，故轉化DQ.如圖4，作定點D關于動點Q所在直線的對稱點D′，依據角平分線的性質可知，D′點落在線段AC上，且D′Q=DQ.此時只需D′Q+PQ最短即可.因為P也是線段AD上的動點，D′Q和PQ在同一直線上有無數種可能，其中D′Q和PQ在同一直線上且與AD垂直時其距離和最短（如圖5）.

圖4

圖5

【答案】P、Q位置如圖5時，PQ+QD最短，最短距離和為

怎樣？雖然出現了兩個動點，是不是感覺和“將軍飲馬”的問題如出一轍？

例2 如圖6，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°.在BC、CD上分別找一點M、N，使△MNA周長最小.

圖6

圖7

【分析】△MNA周長最小，即AM+MN+AN和最小，可考慮轉化其中兩條線段，使轉化后的三條線段有可能在同一條直線上.M、N均為動點，故轉化AM、AN比較合適.分別作定點A關于動點M、N所在直線BC和CD的對稱點A1和A2，此時AM+MN+AN轉化為A1M+MN+A2N，當這三條線段在同一直線上時，其和最短.

【答案】如圖7所示.

如何？雖然是三條線段的最短距離和，相信一定沒難住善于思考的你吧.讓我們把難度等級再提高一級試試吧！

例3 如圖8，已知點A（3，4），B（-1，1），在x軸上有兩點E、F，且EF=1，線段EF在x軸上平移，移至何處時四邊形ABEF周長最短？

圖8

圖9

【分析】因為線段AB和線段EF為定長線段，所以要使四邊形ABEF周長最短，其實就是要使BE+AF最短.我們若依據前面的經驗，作某點的對稱點轉化其中一條線段，會發現轉化后兩線段間夾著一段EF，無法使它們在同一直線上.怎么辦呢？如果沒有EF這一段就好了.能不能利用圖形的變換擠去EF呢？

如圖9，我們可以把線段BE向右平移一個單位，使E、F兩點重合，得線段B1F，此時問題轉化為使B1F+AF最短.現在是不是又回到“將軍飲馬”的問題了？

【答案】如圖10，作B1關于x軸的對稱點B2，B2A與x軸的交點F′即為所求F的位置，左移一個單位即為所求E點的位置.

圖10

看了這些問題，是不是感覺到了數學的神奇與魅力？什么叫萬變不離其宗，什么叫九九歸一，你一定有更深的理解了吧！在以上幾例中，通過作圖形的平移和對稱變換，轉化了線段的位置，使復雜的問題都化歸于“將軍飲馬”這樣的簡單模型.不過，平移和對稱變化只是我們實現轉化的途徑之一，還有全等變換以及由圖形特點所帶來的相等線段也可實現線段的轉化.也就是說，轉化線段使得多條線段有可能在同一條直線上，才是解決“求最短距離和”問題的精髓.

你領會其中的精髓了嗎？來檢測一下吧！

考考你：如圖11，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）當M位于何處時，AM+BM+CM的和最小？

圖11

江蘇省常州市金壇區第三中學）

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