線段最值問題探究

朱華慶

線段最值問題探究

朱華慶

同學們，在我們初中數學學習中，遇到很多線段的最值問題，而且有些難度很大，今天我們一起想方設法，巧妙解決線段及線段和的最值問題.

我們把線段的最值問題分為三類：1.動點在直線上運動；2.動點在圓上運動；3.動點在其他曲線上運動.限于篇幅，我們研究1、2兩方面的問題，這也是考試的主要題型.

一、動點在直線上運動

【回顧一】在蘇科版《數學》教科書八年級上冊學習垂直平分線時，我們遇到一個經典的問題：如圖1，在村莊A、B同側有一條馬路l，準備在馬路邊上建一個加油站P，使得PA+PB的和最小，試作出點P的位置.

圖1

【點評】此題的解法和原理同學們一定都很熟悉，讓我們一起來回顧并整理一下：這是屬于動點在直線上運動的最值問題；作圖的關鍵是找到兩個村莊（即兩個固定點），一條馬路（動點的運動方向）；最小距離和就是一個村莊的對稱點和另一個村莊的連線；如果村莊在馬路兩側，則兩村莊連線所成的線段即最小距離和.

【嘗試1：一個動點】如圖2，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E為BC邊中點，點P為對角線BD上一動點，求PE+PC的最小值.

圖2

【分析】由題意發現動點P在直線BD上運動，而E、C固定不動，把E、C看成村莊，BD看成馬路，這里顯然C的對稱點比E的對稱點容易找到，所以作C的對稱點（由于菱形的對稱性，C、A關于BD對稱），連接AE，交點就是要求的點P.

圖3

解：點C關于BD的對稱點為點A，所以連接AE交BD于P，如圖3.由已知條件可得△ABC是等邊三角形，AE是高，所以PE+PC的最小值為AE= 3.

【點評】首先由動點……