借得春風好行雨

黃孝玲

【摘要】函數是連接代數與幾何的紐帶，也是初中數學的重點所在。函數的抽象性和復雜性，使得現有初中函數教與學都存在許多疑惑和困擾。針對這些問題，本文結合幾何畫板的形象性、直觀性、準確性等特點，就幾何畫板在優化初中數學函數教學上做些粗淺的探討，以推進初中函數教學的新方式、新思路，獲得更好的教學效果。

【關鍵詞】初中函數 幾何畫板 動態幾何

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）19-0118-02

1.函數教學現狀凸顯新技術應用的重要性

函數是刻畫兩個變量之間關系的一個數學工具，它是連接代數與幾何的紐帶，也是初中數學的重點與難點，這使得師生對函數的教與學就顯得尤為重要。

1.1學生學習函數的現狀分析

函數知識的綜合性以及以運動的觀點研究兩個變量之間的關系，對學生來說比較困難.在傳統教學條件下，相當多的學生八年級學習了一次函數后，對函數產生了畏難情緒，到了九年級只要一看到函數的章節，沒學就先退縮。原因主要有以下五點：

其一，函數概念的抽象性造成學生理解困難。函數是研究兩個變量間的關系，具有較強的抽象化和虛擬化特征，這與學生日常接觸的常量數值是有較大差異的，這就給學生在理解上造成了極大的困擾，阻礙其熟練掌握和運用。

其二，手工繪圖不精準影響了學生對函數圖像的理解。特別是畫反比例函數圖像，學生受一次函數圖像的影響，兩點之間把它畫成線段，畫出如圖1的形狀出來。教師在沒有幾何畫板的輔助教學下，很難跟學生解釋清楚，它是兩條跟x，y軸無限逼近，但永遠不會相交的雙曲線。

其三，手工繪圖的有限性使得學生對函數性質理解不夠透徹。受條件限制，我們教師在黑板上畫的圖像只能是有限的幾個，無法呈現其動態變化過程，學生觀察函數圖像，不容易并找出它們的共同特征。

其四，對于函數之間的關系難以理解。比如二次函數y=2x2，y=-2x2，y=2x2+3 ， y=2x2-3，y=2（x-4）2 ， y=2（x+4）2 ，y=2（x-4）2+3，y=2（x+4）2+3，它們之間的聯系是什么，一個函數圖像到另一個函數圖像是怎樣變換過來的，傳統教學教師只能在黑板上畫出幾個靜止的圖像，教師解說，學生腦子想象，學生搞不清楚。這樣就使得學生覺得二次函數的內容很多，學習起來很吃力。

其五，函數的強綜合性加大學生求解難度。函數題的綜合性很強，常常與不等式、方程、多邊形、圓結合[1]，牽涉到數學思想有數形結合，分類討論等思想，題目中常牽涉動點問題，傳統學習條件下，學生解決函數綜合題常常碰壁。

總之，函數的學習始終貫穿在學生學習數值和形態的過程中，它需要學生對符號語言和圖形語言有較強的分析判斷能力，能靈活地在兩種語言間進行轉換，同時清楚地分析出其間所表示的函數關系，這種能力的養成，對學生理解函數兩個變量之前的關系，都有著極大的裨益。

1.2教師講授函數的現狀分析

傳統函數的教學，基本上是教師在黑板上畫圖與講解，一方面浪費課堂時間，另一方面呈現給學生是不夠精確的、靜止的圖形，不能很好的發揮圖形形象直觀動態的效果，使得學生對函數性質的理解基本處于模棱兩可的狀態，解決函數綜合題就顯得更加困難。

2.幾何畫板極大優化函數的課堂教學

幾何畫板（The Geomters sketchpad）是美國Key Curriculum Press公司制作出版的學科性質的教學軟件，是一款以數學為根本，以動態幾何為特色的專業學科軟件。幾何畫板的功能分別有畫幾何圖形、畫函數圖像、畫坐標系，改變圖形的顏色及線段的粗細，給圖形標記字母，度量線段的長度、度量角的大小、度量圖形的面積等，對圖形做旋轉、平移、軸對稱變換，點或者線段的運動、追蹤圖形運動的軌跡，還可以插入文字或者用筆在板面上直接寫字。對函數教學來說，幾何畫板最大的優勢在于當輸入函數關系式時，電腦立即呈現相應的函數圖像，還可以在圖像上畫點，呈現點坐標，移動圖像上的點，點坐標會不斷跳動，形象直觀，大大提高課堂效率。

2.1幾何畫板能精準地畫出函數圖像

學生在了解函數圖像是什么形狀時，傳統的教學是叫學生在作業紙上畫，老師在黑板上畫。由于我們只能畫出幾個點再連線，由此推斷函數圖像是什么，常常猜想與實際有一定的差距。如果借助幾何畫板軟件就能精準的畫出函數圖像，比如了解反比例函數圖像形狀，教師在幾何畫板上寫出函數表達式，立即呈現出此圖像是雙曲線，雙曲線分布在哪兩個象限，老師可以拉途中的箭號說明圖像無限延伸且無限靠近x、y軸，但與x、y軸永遠沒有交點。但傳統的教學就沒有如此形象，只能老師講解，學生腦子想象。

2.2幾何畫板能加深學生對函數性質的理解

我們在研究函數的性質時，通常做法是要畫幾個函數圖像，從中觀察其共性。比如；以一次函數為例，我們在研究一次函數y=kx的性質，主要研究k對圖像的影響[2]。傳統教學叫學生在課堂上畫圖，學生一般只能畫出兩三個圖像由此做出推斷，但借助幾何畫板，我們就可以畫出好多個k不同時的函數圖像，再得到它的性質（當k>0時，直線經過一、三象限，當k<0時，直線經過二、四象限，當k的絕對值越大，直線與x軸的正半軸夾角就越大。）這就使教師從備課時的大量作圖工作中解放出來，更專注于學生在課堂上的實時反映，使教師教學效果得到提升。再比如說教函數的增減性時，可以利用幾何畫板在直線上描點，呈現點坐標，拖動點，點坐標不斷跳動，學生觀察起來形象直觀，對函數的增減性就可以很輕松的掌握。

2.3幾何畫板能動態描述函數之間的關系

幾何畫板軟件中有運動平移、軸對稱變換的功能，所以用這些功能能動態描述函數之間的關系。以二次函數為例，為了描述二次函數y=ax2， y=ax2+k ，y=a（x-h）2 ，y=a（x-h）2+k之間的關系，假設a=2或-2，h=4或-4，k=3或-3，一方面可以讓學生課余在紙張上畫出y=2x2， y=-2x2，y=2x2+3，y=2x2-3，y=2（x-4）2， y=2（x+4）2 ，y=2（x-4）2+3， y=2（x+4）2+3課堂上老師可以借助幾何畫板畫出這些函數圖像，動態的演示從一個圖像如何變化到另一個圖形。如圖像y=2x2沿x軸做軸對稱變換就與圖像 y=-2x2重合；圖像y=2x2-3 沿y軸向上平移6個單位就與圖像y=2x2+3重合；圖像y=2（x+4）2向右平移8個單位就與圖像 y=2（x-4）2重合；圖像y=2x2向右平移4個單位，再向上平移3個單位就與圖像y=2（x-4）2+3重合。教師可以在幾何畫板上更改二次函數的系數重新畫圖演示，這樣教學對函數之間的關系就了解得比較清楚。與傳統教學老師課前在小黑板上畫這些圖像帶到課堂上上課相比，既節省了教師的課前備課時間，更使教師能將靜態的板書式的圓形對比以動態的方式演示出來，將抽象的函數關系以形象化，讓學生能直觀地理解函數圖形的運動變化，有效提高了課堂教學效果。

2.4幾何畫板能加深對函數綜合題的理解

函數綜合題題目較長，綜合性很強，函數一般會與多邊形相結合，且包含著動點問題。學生常常看不懂題目的意思，好多學生直接放棄求解這樣的題目。學生通過運用幾何畫板，將函數與多邊形以動畫方式展現出來，找出相互間的關聯性，強化對題目的理解和分析。

比如：2008寧德中考最后一題，26.如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點D在AC上，CD=3厘米。點P、Q分別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒[3]；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米。設運動的時間為x秒，△DCQ的面積為y1平方厘米，△PCQ的面積為y2平方厘米[3]。

⑴求y1與x的函數關系，并在圖2中畫出y1的圖像；

⑵如圖3，y2的圖像是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4，12），求點P的速度及AC的長[3]；

⑶在圖3中，點G是x軸正半軸上一點（0

①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；[4]

②當0

此題第（1）小題△DCQ的面積為y1，對應的函數圖像是圖4直線y=x ，△PCQ的面積為y2，對應的函數圖像是圖4的拋物線y=-x2+6x，通過幾何畫板畫出的函數圖像，學生可以清晰看到△DCQ的面積y1隨著時間增加而增大，△PCQ的面積y2隨著時間的增加先增大后變小。第（3）小題的第一問，線段EF的含義，從下圖中明顯看出來指的是△PDQ的面積。此小題的第二問，當0

3.對幾何畫板的幾點思考

幾何畫板精準快速地畫圖、直觀的動畫、以及對軌跡的跟蹤，這些對函數的教學提供了許多便利，提高了課堂的效率。但是學生在課余自己做作業探索問題時，沒能使用這個軟件畫圖，解題還是存在很大的困難。作為教師，最關鍵作用是“傳道授業解惑”。因此，教師在自身熟練掌握運用幾何畫板的同時，更應該將幾何畫板充分應用于學生的學習探索中，讓學生也能在學習靈活使用幾何畫板來分析和解決問題，這也才是使用幾何畫板的終極意義所在。

幾何畫板在函數教學中的便利之處已經彰顯，但我們也必須明白，它只是一種教學輔助手段，我們不能因此而忽略了傳統教學的優勢。在教學過程中如何做到二者的最佳結合，需要我們進一步努力實踐探索。

總之，幾何畫板作為一項新興的信息技術，猶如春風行雨，為我們一線的教學提供了大量的便利，我們教師應該熟練地掌握并有效地運用它，使其在教學中發揮出最大的效益。

參考文獻：

[1]唐亮.《不等式學習導航》[J].《理科考試研究：高中版》，2004（7）

[2]陸蘭蘭.《二次函數圖像與性質的建構性教學初探》[J].《數學學習與研究：教研版》，2015（6）

[3]張曉林.《動態幾何型》[J].《中學數學教學參考：中旬》， 2009（1）

[4]劉關云.《河北省石家莊外國語學校2011-2012學年九年級上學期第三階段數學...》試卷，河北 2012年3月