折線模糊數的重心定位及其排序方法

王 欽，李貴春

(天津師范大學管理學院，天津 300387)

折線模糊數的重心定位及其排序方法

王 欽，李貴春

(天津師范大學管理學院，天津 300387)

給出了折線模糊數的定義及其有序表示，并結合兩個具體例子討論了折線模糊數與其有序表示的對應關系.提出了折線模糊數的重心定位計算公式及其指標排序準則，并通過實例驗證了折線模糊數排序方法的有效性.

模糊數;折線模糊數;有序表示;重心坐標;指標排序

0 引言

在決策分析和優化問題中模糊數的排序占有十分重要的地位，但由于基于Zadeh擴展原理的模糊數算術運算不滿足封閉性，從而導致模糊數運算極其復雜和繁瑣.2002年，劉普寅[1]首次提出折線模糊數概念，并通過n-折線模糊數的擴展運算來近似替代傳統的Zadeh擴展運算，進而研究了折線模糊神經網絡的泛逼近性.文獻[2]系統地給出了折線模糊數的算術運算法則及其相關性質.文獻[3]從數學理論層面討論了折線模糊數空間的完備性.此外，由于折線模糊數可用有限個有序實數表示，故在處理模糊信息時具有一定優勢.例如，折線模糊神經網絡可將內部運算直接作用在特殊模糊集上，并通過折線模糊數的有限個點來進行信息處理.2012年，文獻[4]通過引入等距剖分方法對折線模糊數定義做了改進，并在K-積分模意義下研究了折線模糊神經網絡對一類可積函數的逼近性.文獻[5]基于折線模糊數的擴展運算構造了一個具體的三層前向折線模糊神經網絡模型.然而，上述這些方法和結果始終回避一個關鍵問題，那就是折線模糊數該如何排序?

事實上，模糊數的排序是討論多屬性決策分析和優化問題的一個關鍵性指標，以往人們從不同角度對三角形模糊數或梯形模糊數給出若干排序準則和排序方法.[6-9]然而，這些方法在不同程度上都存在丟失信息的現象，迄今為止，對一般模糊數的排序方法罕見于已有文獻.這不僅是因為一般模糊數的結構和算術運算復雜多樣，而且是因為模糊數自身結構缺乏一個統一的指標準則.本文將通過引入折線模糊數作為衡量模糊數的指標排序準則，并系統討論了折線模糊數與其有序表示的對應關系，進而基于重心定位坐標提出折線模糊數的指標排序準則及其排序方法.

1 折線模糊數

由于一般模糊數不能簡單地進行線性運算，且只能依賴于頗為復雜的Zadeh擴展原理進行算術運算，這給模糊數的應用帶來了許多不便.為克服這些不足，文獻[1]率先引入折線模糊數概念.

本文一律用Rn表示n維歐式空間，N表示自然數集，R+表示正實數集，F0(R)表示R上全體普通模糊數構成的集合.

圖1 n-折線模糊數的隸屬函數圖像

圖2 模糊數與等距分片后n-折線模糊數的隸屬函數圖像

事實上，引入折線模糊數的重要意義遠不止于此，重要的是其對每個普通模糊數都可依據不同n值截取一個n-折線模糊數，換言之，一般模糊數可用n-折線模糊數來逼近或近似表示，見圖2.

依圖2不難看出，對給定模糊數來說，其對應折線模糊數主要依賴于n值的選取.n值越大所得分片和結點越多，該折線模糊數逼近所給模糊數的能力就越強，但其復雜程度也隨之加大.

2 折線模糊數的有序表示

事實上，若給定一個折線模糊數的解析表達式，不僅n值可確定，而且其有序表示也可確定.反之，若給定2n+2個有序實數(有序表示)，也可唯一確定折線模糊數的解析表達式.下面將通過實例來進一步討論折線模糊數與其有序表示的對應關系.

圖3 有序表示所對應的3-折線模糊數的隸屬函數圖像

此外，由于所給有序表示中含有8個有序實數，故令2n+2=8，解之n=3.這意味著在y軸的閉區間[0，1]上插入兩個分點λ1=1/3，λ2=2/3.此時，待求3-折線模糊數的隸屬函數與水平直線y=1/3和y=2/3的交點(結點)坐標為(-4，0)，(-3，1/3)，(0，2/3)，(1，1)，(2，1)，(4，2/3)，(5，1/3)，(7，0).

在平面坐標系內確定上述8個坐標點的位置，然后用直線段依次連接相鄰結點，即可獲得所求3-折線模糊數的隸屬函數圖像，見圖3.

上述兩個實例說明了一個n-折線模糊數與其有序表示是一一對應的關系.

3 重心定位

由于折線模糊數是由若干小梯形疊加而成，且每個小梯形除了自身高度相同外其余部分均有所不同，參見圖1—3.實際上，文獻[8-9]雖然給出每個梯形模糊數的中心坐標確定方法，但該方法具有一定局限性，況且若將圖1中所有小梯形疊加后其重心坐標該如何確定又是一個新問題.

(1)

(2)

4 排序準則

通常情況下重心坐標在三角形或梯形模糊數的排序中扮演著重要角色，但這些方法都具有一定的局限性和不同程度缺陷.例如，Cheng[6]提出三角形模糊數排序指標公式，但該公式對重心相同的三角模糊數卻無法排序;Chu等[7]雖提出改進的排序指標公式，并且克服了Cheng的缺陷，但它又導致橫向和縱向重心坐標乘積相等的三角模糊數無法排序;文獻[8]綜合采用Cheng和Chu的平均值給出新的排序指標公式，但仍有時陷入Chu的缺陷;文獻[10]通過引入平均模糊集概念重新提出了指標排序公式，該公式雖然基本克服了上述缺陷，但涉及復雜的定積分計算，嚴重影響了排序的效率.實際上，通常人們只是注重對排序指標公式的改進，而忽略對重心坐標的修改，本節將在上述提出重心定位公式(1)—(2)的基礎上，依據文獻[9]的排序指標給出折線模糊數的排序公式.

(3)

顯然，序關系“>”滿足傳遞性、獨立性和完全性，故該排序指標準則對于多個折線模糊數排序仍然適用，這些結果可從后邊的實例中明顯看出.

需要進一步說明的是，上述排序準則僅限折線模糊數的有序表示在同一個n值情況下使用.否則，若所取n值不同，會導致重心坐標乃至所有指標都發生改變.事實上，待將來進一步研究模糊數的排序問題時，固然都是選取同一個n值來進行等距分片.

5 實例分析

下面通過給定一組折線模糊數的有序表示，按照上述排序指標公式和排序準則來進行具體排序.這里為簡便起見，不妨選取n值為3.

按照定義1及其有序表示，不難將這4個3-折線模糊數放置圖4中.

圖4 例3中4個3-折線模糊數的隸屬函數圖像

現按公式(1)—(2)計算橫向重心坐標和縱向重心坐標分別為：

同理，也可計算出其他橫向和縱向重心坐標分別為：

將此重心坐標代入排序指標公式(3)得

從例1中不難看出，若給定一組折線模糊數的有序表示(限定固定n值)，可先依公式(1)—(2)分別計算每個有序表示的橫向和縱向重心坐標，進而按照公式(3)即可獲得排序指標K(·)的確切值.

6 結論

折線模糊數是一個比較新的概念，它的提出起源于一般模糊數的算術運算.正因如此，折線模糊數的一些優良性質自然還要回歸于模糊數的應用.本文首次針對折線模糊數提出有序表示、橫向重心坐標和縱向重心坐標等重要概念，并給出重心平均排序指標和指標排序準則步驟.最后，通過實例給出一組3-折線模糊數的排序方法.事實上，任何一個普通模糊數都可用一組折線模糊數來逼近或近似表示，因此折線模糊數排序的意義遠不在于其自身，更重要的是它為一般模糊數的排序搭建了一個橋梁!當然，對一般模糊數的排序也是下一步將要重點探討的問題.

[1] 劉普寅.一種新的模糊神經網絡及其逼近性能[J].中國科學(E輯)，2002，32(1):76-86.

[2] LIU P Y，LI H X.Symmetric polygonal fuzzy number space [J].Journal of Fuzzy Mathematics，2007，15(1):27-42.

[4] 王貴君，李曉萍.K-積分模意義下折線模糊神經網絡的泛逼近性[J].中國科學(信息科學)，2012，42(3):362-378.

[5] 李丹，孫剛，王貴君.一類三層前向折線模糊神經網絡的構造[J].東北師大學報(自然科學版)，2012，44(3):55-59.

[6] CHENG C H.A new approach for ranking fuzzy numbers by distance method [J].Fuzzy Sets and Systems，1998，95：307-317.

[7] CHU T C，TSAO C T.Ranking fuzzy numbers with an area between the centroid points and original point [J].Computers and Mathematics with Applications，2002，43：111-117.

[8] WANG Y M，YANY J B，XU D L，et al.On the centroids of fuzzy numbers [J].Fuzzy Sets and Systems，2006，157：919-926.

[9] 趙娟，劉瓊蓀.一種基于模糊數中心的模糊數排序方法[J].模糊系統與數學，2008，22(2):142-146.

[10] 王秀榮，張俊容.一種新的模糊數排序方法[J].統計與決策，2012，8：78-80.

[11] 王濤，李鍵，李井翠.模糊數的一種梯形模糊數的逼近方法[J].統計與決策，2010，17：31-33.

[12] 錢存華，張琳，戴檳，等.三角模糊數的加權平均及其在評價決策中的應用[J].運籌與管理，2005，14(2):5-9.

(責任編輯：李亞軍)

Centroid positioning of the polygonal fuzzy number and its ordering method

WANG Qin，LI Gui-chun

(School of Management，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China)

The definition of polygonal fuzzy number and its ordered expression are given and the corresponding relationship between polygonal fuzzy number and its ordered expression is discussed through two specific examples.The calculation formulas of the centroid positioning of polygonal fuzzy number and the criterion of the index ranking are put forward.The effectiveness of the ordering method of polygonal fuzzy numbers is verified through a practical example.

fuzzy number；polygonal fuzzy number；ordered expression；centroid coordinates；index ranking

1000-1832(2017)02-0025-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.006

2016-01-11

國家自然科學基金資助項目(61374009).

王欽(1989—)，男，碩士，主要從事物流管理與決策分析研究；通信作者：李貴春(1964—)，男，博士，教授，主要從事物流管理、決策分析與供應鏈研究.

O 159 [學科代碼] 110·74

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