平面解析幾何中曲線方程的求法Q

李功天

【摘 要】在高中數學的教學體系當中，求解曲線方程是一個非常重要的部分。解析幾何有著比較穩定的規律，因此求解曲線方程的方法也趨于確定。本文以四種常規的求解方法為主線，講解平面解析幾何中曲線方程的求解方法。

【關鍵詞】高中數學 解析幾何 曲線方程

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）02B-0157-02

根據曲線滿足的約束條件求解曲線方程是解析幾何中的基本內容，熟練掌握曲線方程的求法是學習平面解析幾何的基本要求之一。筆者總結了四種基本的求解方法，供各位讀者學習、討論。

一、一般求解，掌握規律

沒有方法的方法就是普適性的方法。如果涉及特殊的解法，必然要有一些局限的條件。因此，在掌握特殊的解法之前，首先要掌握好基本的解法，也就是一般解法。掌握了一般解法，也才有進行變換的可能。

一般解法有四步。第一步，確定坐標系，一般來說試題中的坐標系是已經確定好了，學生需要做的就是明確已知曲線在坐標系中的位置信息。第二步，設點，即將所求的曲線上任意一點設為（x，y），將此點作為一條曲線的特征值。這一步是比較固定的一步，無論什么方法都適用。第三步，是關鍵性的一步，列出所設點滿足的等式，列式依據為題中給出的已知條件。第四步，出成果的一步，將第三步中的等式進行化簡，化成 f（x，y）=0的形式，曲線方程也就求出來了。在一些有特殊要求的題目中，還要加一步驗證的過程。至此，整個一般解法就形成了一個完成的程序，其中的規律性也非常的明顯。下面以一道例題進行詳細說明。

如圖，已知曲線 C：x2+y2-4x-6y+9=0，從原點 O 引一條割線 OP2 交曲線C 于 P1 和 P2 兩點。假設 P1P2 的中點為P，求 P 的軌跡方程，并說明其軌跡是什么圖形。

根據一般解法的原則，第一步，要明確坐標系，將已知曲線進行配方，得（x-2）2+（y-3）2=4，因此得出了已知曲線為以（2，3）為圓心，半徑為 2 的圓；第二步，設 P 的坐標為（x，y）；第三步，根據題意，知 RP 與 OP1 之間是垂直關系，由此可得 kRP×kOP1=-1，列出相應的方程；第四步，化簡方程，得出結果為 x2+y2-x-3y=0。

一般解法具有非常大的適用性，但是也存在運算量大、解決難題效率低等問題。凡事從基礎做起，一般解法是學生在學習過程中必須掌握的技能。只有當基本的解題方法運用熟練之后，一些靈活的思想才有可能形成。

二、引參消參，間接求解

在解題中，學生運用一般解法找點線關系時，往往受到一些因素的制約，或是關系式難以化簡，或是關系抽象不能列式。這時候就不能“不撞南墻不回頭”了，要學會運用間接的方法，如引入一些參數，通過消去參數的方法（引參消參法）來進行求解。

運用引參消參法需要注意三個原則。一是可控性。即引入的參量的變化軌跡能夠以明確的曲線方程表達出來，便于列式，避免“為了引參”而強行引入變量，加大解題難度。二是簡易性。引入參量的目的是簡化等式關系，因此參量與因變量、自變量的關系要簡明。三是易消性。即參量要在含 x，y 的方程中容易消去，否則解題將進入死胡同。仍然以上面的題目作為例子進行說明。我們觀察到 P 點、R 點、O 點的位置關系不明確，但是與割線 OP2 的關系比較密切，而 OP2 過坐標原點，因此可以引入 OP2 的斜率 k 作為參量。設 P 點的坐標為（x，y），割線 OP2 的斜率為 k，那么 OP2 的方程即為 y=kx，代入曲線 C 的方程中得（k2+1）x2-2（3k+2）+9=0，設 P1（x1，y1），P2（x2，y2），則 x1 和 x2 為此方程的兩個根。由韋達定理和中點定理可求得方程。又因為（x，y）在 OP2 上，所以最后求得 P 的軌跡為 x2+y2-x-3y=0。

引入參量相當于增加變量，這是屬于增加了求解的“負擔”，但是引入參量的意義在于通過一種間接的關系，將所有的變量關系集中到參量上，從而將建立的關系進行簡化。所以說引參消參的方法是增多了變量，但簡化了思路。

三、常數待定，精準解答

求解曲線方程，就是要確定方程中的所有未知參數，因此把問題落在這個未知參數上，通過整理，又將未知參數集中到一個待定的常數上，通過已知條件中的等式關系，確定出此常數，這樣問題也就迎刃而解了，這就是常數待定法的思路。

應用常數待定法求解，將求解目標縮小到了一個待定常數上面，提高了解題的目的性和精準度，解答的整個過程變成圍繞該常數來展開，減少了很多變化的因素。使用待定常數法進行解題時，不僅要熟悉各種曲線方程的標準形式，而且還要熟悉它們的特殊形式，在盡量大的限度內減少待定常數的數量。舉下面一道題目為例。

現有一雙曲線以 2x±y=0為漸近線，并且過點 N（2，），求該曲線的解析式。

分析這道題目，雙曲線的漸近線一旦確定，那么就剩余一個常數待定了，可將此常數設為變量來集中求解。

解題過程：由于雙曲線以 2x±y=0為漸近線，可設雙曲線方程為（2x）2-y2=，因為 N（2，）在雙曲線上，所以 16-12=，=4，所以雙曲線方程（2x）2-y2=4，化成標準形式即可。從以上的解題過程中可以看出，將漸進線的條件轉化成待定常數的關系式是整個過程中的關鍵性一步，這就需要學生熟練掌握雙曲線的性質。

數學解題的原則就是“準確”與“快速”。“準確”就是要求學生的思維必須縝密，“快速”就是要求解題目標明確。待定常數法解題兼具“準確”與“快速”的一種方法，但是并不適合所有題目。

四、坐標變換，靈活求解

在常規的解法中，我們的注意點往往集中在曲線方程上面，對于一些題目來說可能有些困難。此時我們可以將注意力轉移到坐標上來，通過點的坐標之間的變換，來實現曲線方程之間的轉化，促成解題，靈活求解。

曲線是由一系列點構成的，因此點的關系也在一定程度上代表了曲線之間的關系。在求解曲線變換時，可以先建立點的坐標之間的變換關系，然后通過轉化來求解。例如下面一道題目：

如圖，已知圓 M：x2+y2+6x-10y+33=0 和一條直線 l：3x-y+4=0。求圓 M 關于直線 l 的對稱圓 N 的方程。

分析這道題目，我們可以發現整個待求的方程未知量都集中在圓心之上，如果確定了圓心的位置，那么圓N的方程自然也就確定了。我們以圓心的坐標進行變換求解，解法如下：

將圓 M 進行配方：（x+3）2+（y-5）2=1，通過圓 M 的方程確定了圓心 M（-3，5）。設點 M 關于 l 的對稱點為 N，MN 直線的參數方程為 x=-3+3t，y=5-t，代入 l 可得 3（-3+3t）-（5+t）+4=0，t=1。因此可得 xN=-3+3=0，yN=5-1=4，所以 N 點的坐標為（0，4）。在圓對稱變換的情況下，圓的半徑不變，所以圓 N 的方程為 x2+（y-4）2=1。

在求解曲線時，不一定要“直接”求解，一條曲線的組成要素有很多種，比如點的坐標、曲線的特征曲線等，作為解題者要善于將曲線之間的關系轉化為點坐標之間的關系，通過點與點之間的坐標變換，來靈活求解。

綜合來說，曲線方程的求解有很多種方法，但是沒有一種方法是萬能的。這就說明了求解曲線方程，或者說是求解任何一種數學問題，都不會有一勞永逸的方法。各種各樣的方法是逐漸積累而來的，需要學生在練習中不斷總結歸納。

【參考文獻】

[1]劉祖望.談平面解析幾何中曲線方程的求法[J].四川教育學院學報，2004（1）

[2]楊永剛，閻恩讓.解析幾何中軌跡方程的求法[J].寶雞文理學院學報，1996（2）

（責編 盧建龍）