積分學中各種積分之間的關系研究與例解

楊元啟

摘 要：本文討論了高等數學中幾種類型的積分之間的聯系與轉化技巧， 并用適當例子說明這些轉化技巧的具體應用。這對各類積分思想的理解和計算都有很重要的意義。

關鍵詞：定積分；重積分；累次積分；線積分；面積分

高等數學中的積分學包含的積分類型很多， 積分計算也經常走入死胡同，無法求解。如果能深刻地領會不同積分之間的內在關系，掌握不同類型積分互相轉化的技巧，一般都能順利解答。各種積分之間的關系及轉化技巧，在國內眾多文獻中能找到一些零星的討論，但都不夠細致深入。

本文著重對定積分、重積分、線積分、面積分這幾個常見常用的積分，用實例來詳細討論積分轉換技巧的應用。

一、定積分與重積分

重積分的計算問題除了用定義外，幾乎都是化成兩個或多個定積分（累次積分）來計算的。對一些較復雜的定積分，也可能無法求出其原函數，必須借助重積分的思想才能求解。以下通過幾個例子來說明這些積分的轉化技巧。

例1 計算?D dxdy，其中D 是直線x=π，y=x，y=0所圍成的閉區域。

解：如果將二重積分化成如下累次積分：

?D dxdy=dydx

由被積函數的特點知這樣的積分無法計算，為此交換積分次序：

?D dxdy=dxdy

=sinxdx=[-cosx]π

0

=2

例2 計算dx

解：用求原函數的方法幾乎沒法解答，注意到=xydy，為此，可以將定積分化成累次積分再來討論。

原式=dxxydy，

交換積分次序得：

原式=dyxydx=dxxydy

=dx=ln（）

例3 設f（x），g（x）在[a，b]上連續，滿足?x∈[a，b），f（t）dt?g（t）dt，以及f（x）dx=g（x）dx，證明：xf（x）dx?xg（x）dx

證：這樣的題一般也需要借助累次積分以及換序技巧。

由題意，?x∈[a，b），f（t）dt-g（t）dt?0，

（f（t）-g（t））dt作為[a，b）上的非負連續函數，有：

（f（t）-g（t））dtdx?0，

交換積分次序，

dt（f（t）-g（t））dx

=b（f（t）-g（t））dt-（tf（t）-tg（t））dt

?0，

仍由題意有，tf（t）dt?tg（t）dt。

證畢。

二、線積分與重積分

兩類曲線積分可相互轉化，第二型曲線積分與重積分也可通過格林公式建立聯系。具體地，有：

1）兩類曲線積分的關系：

∫L Pdx+Qdy+Rdz

=∫L （P+Q+R）ds

=∫L （Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds

（其中，（cosα，cosβ，cosγ）是曲線L上的點（x，y，z）處切向量的方向余弦）；

平面上的兩類曲線積分的關系式可類似給出；

2）格林公式：

-

dxdy=Pdx+Qdy

（其中，D是由分段光滑正向曲線 L 圍成的區域，函數P（x，y），Q（x，y）在D上有連續一階偏導數）。

例4 D是平面區域，u（x，y）在D上有二階連續偏導數，證明：+=0的充要條件是對D內任一圓周L，且L的內部含于D，有∫L ds=0，其中n是曲線L上的點（x，y）處單位外法向量。

證：必要性：若+=0，L是D內任一圓周，且L的內部intL含于D，曲線L上點（x，y）處單位外法向量n=（cosα，cosβ），則單位切向量l為（-cosβ，cosα），由方向導數性質、兩類曲線積分的關系以及格林公式，有：

∫L ds=∫L （cosα+cosβ）ds

=∫L dy-dx

=-?intL（+）dxdy

=0

充分性：用反證法，設∫L ds=0，

如果+≠0，即存在點（x0，y0）∈D，+

（x0，y0）=a≠0，

不妨設a>0，由連續性，存在δ>0，在D內圓域（x-x0）2+（y-y0）2?δ2上+?，

取L為（x-x0）2+（y-y0）2=δ2，

則∫L ds=-?intL（+）dxdy?-，這與題設矛盾。

三、線積分，面積分及重積分

兩類曲面積分可相互轉化；線積分、面積分及重積分的關系可通過斯托克斯公式，高斯公式等聯系起來。

1）兩類曲面積分的關系：

?∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=?∑（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS，

其中（cosα，cosβ，cosγ）為曲面∑在（x，y，z）處的單位法向量；

2）斯托克斯公式：

∫L Pdx+Qdy+Rdz=?∑（Ry-Qz）dydz+（Pz-Rx）dzdx+（Qx-Py）dxdy，

其中∑是雙側光滑曲面，L是∑的邊界，要求L是逐段光滑的，且∑、L滿足右手法則。

3）高斯公式：

?∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=?Ω （Px+Qy+Rz）dxdydz，

其中，Ω是封閉曲面∑的內部，∑的方向取外側。

例5 L為柱面x2+y2=2y與平面z=y的交線，從z軸正向看為順時針，求I=∫L y2dx+xydy+xzdz。

解：設L在平面z=y上所圍區域為∑，取下側，易知∑法線方向余弦（cosα，cosβ，cosγ）=（0，，-），由斯托克斯公式、兩類曲面積分之間的關系得：

I=?∑（Ry-Qz）dydz+（Pz-Rx）dzdx+（Qx-Py）dxdy

=?∑（（Ry-Qz）cosα+（Pz-Rx）cosβ+（Qx-Py）cosγ）dS

=（y-z）dS

=0

例6 計算積分I=?∑（x2cos+y2cos