一類具有負(fù)系數(shù)的廣義單葉函數(shù)

何 濤，周海燕，李玉毛

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

數(shù)理科學(xué)

一類具有負(fù)系數(shù)的廣義單葉函數(shù)

何 濤，周海燕，李玉毛

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文引進(jìn)了一類具有負(fù)系數(shù)的廣義單葉函數(shù)，并研究了其系數(shù)不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點.所得結(jié)果推廣了文[1]中的主要結(jié)果.

負(fù)系數(shù)；廣義葉函數(shù)；系數(shù)不等式；偏差；覆蓋；閉包定理；極值點

1 引言

用S(a,k)表示在單位圓盤△={z:|z|＜1}內(nèi)解析函數(shù)且單葉函數(shù)

全體組成的類.令T(a,.k)表示S(a,k)中的負(fù)系數(shù)單葉函數(shù)子類：

當(dāng)a=1,k=2時S(1,2)=S和T(1,2)=T為鄧琴在文[1]中研究的函數(shù)類3.

本文中，作者研究屬于T(a,k)類函數(shù)的一些屬性，得到類中函數(shù)的系數(shù)，偏差，覆蓋，閉包定理和極值點等性質(zhì)，并推廣鄧琴在文[1]中的主要結(jié)果.

2 主要結(jié)果及其證明

證明（必要性） 設(shè)f(z)∈T(a,k),下面要證明不等式(2).

由于f'(z)是連續(xù)的，并且f'(0)=a＞0，由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，存在r1，0＜r1＜r0，f'(r1)=0，這是矛盾的，因此不等式(2)成立.

（充分性） 由于

所以，對于z1,z2∈△且z1≠z2，我們有

因此，f(z)在△內(nèi)是單葉函數(shù)，即f(z)∈T(a,k).

定理2 設(shè)k∈N,k≥2,a＞0，如果f∈T(a,k)則極值函數(shù)為

利用定理1，得到

和

定理3 設(shè)k∈N,k≥2,a＞0，如果f∈T(a,k)，則a-r≤|f'(z)|≤a+r(|z|=r)極值函數(shù)為

證明 利用定理1，我們得到

和

定理4 設(shè)k∈N,k≥2,a＞0，如果函數(shù)

證明 按照f(z)的定義，可得到

從而

因此h(z)∈T(a,k).

定理5 設(shè)

其中λn＞0和

證明（充分性） 假設(shè)

因此，由理論1可知f∈T(a,k).

（必要性） 假設(shè)f∈T(a,k)，因此

因此

定理6 設(shè)k∈N,k≥2,a＞0，函數(shù)f(z)∈T(a,k)，則函數(shù)也屬于函數(shù)類T(a,k).

證明 因為

因此，由定理1可得，F(xiàn)(z)∈T(a,k).

定理7 設(shè)k∈N,k≥2,a＞0，如果F(z)∈T(a,k)，則（3）定義的函數(shù)，在|z|＜R*是單葉的，其中為實數(shù),且c＞-1

要得到結(jié)果，只要在|z|≤R*時，需滿足條件|f'(z)-a|≤1或

即

則(4)式將成立，上式可化為：

因此，f(z)在|z|≤R*為單葉函數(shù).極值函數(shù)為

注：當(dāng)上述定理1至定理7中，分別取a=1,k=2時，就得到文[1]中的主要結(jié)果.

〔1〕Qin Deng, On univalent functions with negative coefficients[J].Applied Mathematics and Computation, 2007,189:1675–1682.

〔2〕P.L.Duren.Univalent functions[M].Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften,Band 259,Springer-Verlag,New York,Berlin,Heidelberg and Tokyo, 1983.

O174

A

1673-260X（2017）05-0001-02

2017-01-07