淺析提升高中數學解題能力

張雯濤

摘要：筆者通過近幾年的高考命題發現，試題由知識立意向能力立意轉化，注重強化創新意識的考查和能力的培養，強化數學思想與方法，注重知識的交匯，立意新穎、構思巧妙，體現思維的發散性。在數學解題中我們不僅要注重通解通法，而且還要審準題意，善于捕捉有用信息，巧妙解題。這就需要我們平時花大量的功夫去訓練。因此在平時解題中要善于挖掘已知條件、善于提出新解法、善于使用特殊方法、善于對知識進行遷移和拓展，從而迅速提高數學解題能力。

關鍵詞：高中數學；解題能力；解題技巧

一、善于挖掘題設中的已知條件

在審題時，最忌諱的是不能準確地捕捉有用信息，以致于既浪費時間又解錯題目。因此善于挖掘已知條件就能很快找到準確的解題途徑。

例 方程 有兩個不等實根，其實根分別在（0，2）和（2，4）內，求m的取值范圍。通過仔細審題，挖掘條件，我們可以做出如下草圖，從而將方程轉化為函數 ，這樣根據二次函數圖像和性質可以得出 三個不同的方程求解，這樣就可以得出m值的范圍。

這是我在教學過程中使用的一個典型的數形結合的應用案例，不僅使得題目問題一目了然，而且通過相互轉化，提高了學生們的分析問題能力，從而鍛煉了學生們的解題能力和邏輯思維。

我們在日常教學中通過函數關系式把復雜問題簡單化，通過圖形等直觀的表現方法，以便于學生們能夠清楚地看圖，讀圖，提高了學生們學習數學的有效性。

二、鼓勵學生一題多解，啟發學生提出新的解法

在解題中，常規解法固然很重要，但適時地提出新的解法，一題多解會讓人耳目一新。新的解題思路會使學生拓寬視野和眼界。

例 已知 且 ，求 的取值范圍。

該題的常規解題思路是由 變形得 ，將其帶入所求的式子中，根據二次函數的圖象與性質知，即求在 ， 的最小值 ，最大值1.細心的會根據已知條件巧設 ， 于是，原式子就可以轉化為求 最值的問題；此外該題還可以通過轉化為基本不等式的問題進行求解；還可以通過設 ，將問題轉化為動點 到原點的距離，于是只需求線段 ，以及 ，上的點到原點的最大和最小距離就可，當點C與A或B重合時， ，則 的最大值是1；當OC⊥AB時 ，則 的最小值是12 .

通過一題多解的訓練能迅速提高解答數學習題能力，因此在課堂教學中，作為一線教師要學會用正確的思維方法解題之外，還必須養成良好的思維品質，主要是思維的靈活性，深刻性、廣闊性、批判性和創造性。在學習數學時，發現疑問和明確解法往往是在一起進行的，要勇于提出好的解題思路，要學會思考，有思方能促進學習的深化，因此，我們在進行數學學習時，應該把發現問題和解決數學問題放在首要地位，學習數學應當有“法”，解題要有多思路解法。

三、認真審題，巧妙構思，要善于使用特殊方法

在數學解題過程中，根據題設的條件，巧妙構思解題思路，有時候使用特殊的解題方法的可大大節約時間，達到事半功倍的效果。

例 等差數列 的前 項為 ，滿足 ，求 .

通過題設可以直接利用常數列的特殊性“秒殺”該題，令每一項均為 ，則 ，即每一項均為 ，則 .

在高考中，總會有意無意地設置一些難度較高的試題，讓同學們去處理。并不是每套都要使用常規的解題思路，有時只需使用特殊值法或賦值的方法就能很快找到你滿意的答案。

四、善于對課本知識進行遷移和拓展

在數學學習的過程中，同學們在做題的時候往往滿足于得到習題的答案，不太注重對習題的再思考，更談不上對數學知識的遷移與拓展。其實，對習題稍作變化再進行仔細思考、延伸和拓展，會大大提高數學解題能力。

例 已知數列 滿足： =3，當n 2時， ；對于任意的正整數 ，有 成立.設數列 的前 項和為 .（Ⅰ）計算 ，并求數列 的通項公式；（Ⅱ）求滿足 的正整數 的集合.

對于第（Ⅰ）問我們不難得到 ，第（Ⅱ）問的解題思路要學會將書本上學到的知識學會遷移，根據數列 的形式是等差數列，進而求得 ，發現 滿足等差數列與等比數列相乘的形式，根據課本上推導等比數列前 項和的方式，要想求 的前n項和 ，采用用錯位相減法，然后解不等式（結合函數的性質，而且自變量是正整數的函數）即可。

例 已知圓 ，直線 ，圓上僅有兩點到直線l的距離為1，則k的取值范圍是

圓 ，半徑為2，因為圓上僅有兩點到直線l的距離為1，可考慮到特殊的位置。圓心到直線的距離為1與圓心到直線的距離為3，這兩種情形的直線位置很特殊。以它們對應的直線的斜率為標準，很快就能得出答案C。

此外可以將上題進行拓展與延伸：

①當 或 時，圓上僅有一個點到直線的距離為1。

②當 時，圓上僅有兩個點到直線的距離為1。

③當 或 時，圓上僅有三個點到直線的距離為1。

④當 時，圓上僅有四個點到直線的距離為1。

⑤當 時，圓上不存在這樣的點到直線的距離為1。

總之，在平時學習數學的過程中，我們一定要做有心人，要善于挖掘已知條件、善于提出新解法、善于使用特殊方法、善于對知識進行遷移和拓展，這樣我們的解題能力才能大大提高。

參考文獻：

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