在反思中提升數學解題的能力

陳鳳霞

[摘 要] 數學教育活動中，最基本的活動形式是“解題”。中學生要學會“解題反思”。解題反思促進學生元認知能力的提高，積累解題策略經驗。需要對解題的思考過程、數學思想方法、知識點、推理過程、語言表述、解題答案進行反思。

[關鍵詞] 解題反思 元認知能力 策略

在數學教育活動中，最基本的活動形式是“解題”。學生無論是在數學概念的形成、數學命題的掌握、數學方法和技能技巧的獲得，還是智力的培養與發展上都必須通過“解題”，但數學對象的抽象性、推理的嚴謹性與數學語言的特殊性卻決定了處于思維發展階段的中學生不可能一下子就直接掌握，必須經過多次反復探究、深入思考，然后自我調整，才可能洞察數學問題的實質。這就需要我們的中學生要學會“解題反思”。

一、 解題反思的必要性

1. 數學解題中元認知能力的提高

數學解題是有意義的發現學習，在解題過程中需要學生對自己的認知過程、思考方式去進行自覺的監測、控制和有效調節，這就是數學解題的元認知能力。數學教育家波利亞（G. Polya）強調：“中學數學教學首要任務是加強解題訓練”。但解題訓練決不是要求學生死記硬背各種套路與模式，把學生訓練成對習題作出“快速反應”的解題機器，而是培養學生在解題中能自我監控和自我意識。一個解題“高手”在遇到稍難的問題時決不急于看 解題答案，而是先獨立作出一番研究，對如何入手、如何構思、如何選擇、如何猜想作出基本策劃，對問題情境的各種信息準確分類，迅速調動頭腦中相關知識對有效信息作出選擇，控制選擇解決問題的策略，然后開始解題，在解題過程中總是保持良好的批判性與高度的警覺性密切關注解題過程并隨時用適當的方法檢查自己的猜想與推理直至解題結束。解題結束后再回過頭去自覺對問題的本質進行重新剖析，回顧發現解題“點金一念”的經歷，抽取問題解決的關鍵，反思出此次解題過程的經驗與教訓。這樣所形成的解題經驗才能有較強的、廣泛的遷移性。在這個過程中，自我反思往往被忽視，而它是提高認知能力中的“自我意識”的關鍵所在。

2. 解題策略經驗的積累

為了使學生能把學習作為主動自覺的一個過程，就必須讓他們形成良好的解題認知結構。解題認知結構的建立和改造有三大環節：知識網絡建構、解題實踐活動和策略經驗積累。在第三環節中，要能積累策略經驗并不是“題海戰術”中馬不停蹄做題就能達到的，而是要在不斷“解題回顧”中才能日積月累。在“回顧”中，把問題解決的新舊相關知識，解題方法、思考策略等意義進行同化并進行聯系的強化，使知識更鞏固，方法更熟練，策略理融合貫通，從而獲得新的解題策略、方法，這個“回顧”過程又是一次“策略與經驗”的學習與積累。而如果一味只顧面對排山倒海而來的題目，沒有時間去“回顧”，哪有新策略的重構呢？古人云：工欲善其事，必先利其器，解題反思正是磨利“解題武器”的過程。

二、 解題反思的方法

1.對解題的思考過程進行反思

在對一個問題解答結束以后，引導學生努力去回憶自己從開始到結束的每一步心理活動，即對解題的思考過程進行反思。一開始看到題目是怎么想的，繞了什么彎路，碰了幾個釘子；為什么這么想，怎么會走到彎路的，所碰的釘子以后有什么可解決的規律可循；思考過程中老師和同學的提示為什么使我“頓悟”，我跟他們的差距是什么；自己的思考過程有沒有什么普遍性的規律可以歸納等等。比如解完方程“ ”后反思一下為什么我一看到題目就覺得似曾相識但又怕它的“4次”呢？后來又是如何解決“4次”的，這種解決辦法有沒有什么規律呢？通過一連串的反思，學生會主動建構此類“高次”方程解法的一種策略。這無疑是對學生一種元認知能力的培養，是一種學習潛能的培養。

2.對解題所涉及到的數學思想方法進行反思

數學學習的精髓是對數學思想方法的領會、掌握和運用。而數學思想方法沒有獨立的存在形式，往往伴隨著具體的數學活動過程，蘊涵在具體解題的字里行間，要靠學生在長期的數學學習中領悟、吸收和運用。因此，在解題結束后，應該去發掘一下在此過程中用了什么思想方法，這種用法有什么特點，在其他情況下是否也用過，有什么差異和規律等。當然這個過程開始必須由老師去引導和選拔，預先介紹轉化的的思想，函數與方程思想、分類討論的思想、數形結合的思想等，引導學生發現“降次、消元、換元、配方、歸納”等方法，然后碰到類似問題時讓學生主動思考屬于哪種思想方法，從而不斷提高對思想方的認識和運用水平。

3.對解題所涉及到的知識點進行反思

大多數學生對某一數學對象的認識不是在一次數學活動中就能完成的。比如初中八年級的學生在剛開始接觸函數時并不能理解用“變量”下的定義，對于“ ”與“ ”是否是同一個函數根本不理解，對于函數為什么會有圖象更是莫名其妙。函數對學生來說是一個難點，他們對函數的本質屬性的認識不是在短時間內就能達到的，必須要經歷一個長期的過程。而每一次的解題過程都可能提供一個提高認識水平的機會。盡管可能每次的數學背景不同，但涉及到同一對象“函數”的就可以進行反思，這個題目中的函數自己是否有一些新的認識，原來的認識有什么欠缺，這種欠缺是什么造成的，現在我會不會補救等等。久而久之，認識會越來越深刻，越來越完善。而正是這種與具體情境聯系起來的認識才是能遷移的認識，才是最有用的認識。

4.對解題的推理過程、語言表述進行反思

數學解題追求簡單自然，就是解題時抓住實質，不亂兜圈子，不去一味尋求所謂的妙解，而是利用題目中顯性或隱性的條件直截了當尋求最樸實、最直接的解法。法國數學家狄德羅說過：“數學中的所謂美的解答，是指一個困難復雜問題的簡易回答。”

例如，已知關于 的實系數一元二次方程 有兩個實數根 、 且 ，求證： 。

如果僅靠根與系數的關系證明相當繁，且書寫過程較瑣碎，但如果由方程 聯想到函數 的圖象便簡單自然多了，根據條件推得函數在 時均為正值從而推到 ，結合根與系數的關系再得到 。在完成解答后，可以對解題的推理過程的邏輯性、嚴謹性進行回顧一下，總結出簡縮思維結構的經驗，逐步提高簡縮思維的能力。另外還應回顧一下運算是否簡便、書寫是否規范，這也是養成規范解題習慣的一個重要途徑。

5.對解題答案進行反思

G.波利亞說：“在你找到第一個蘑菇（或作出第一個發現）后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的。”因此不能把獲得答案作為解題的單一目標，一定要形成一種反思意識，思考一下這個結果是否能變形，推廣？如果改變一下條件，結論是否會發生變化？這個結論能否用于其他問題的解決呢？這樣的反思會引導對其他問題的思考，借用結論還可以解出原來不會解或有疑惑的問題，在反思中不斷成長為”反思結論“的受益學習者。

反思是我們目前教學中比較缺乏的環節，而解題反思則更為薄弱，合理引導學生學會解題反思是我們數學老師的重要職責。它能促使學生主動學習、自主構建知識體系，也是彌補學習的個體差異的最佳途徑。我們呼吁：解題是一種訓練手段，而解題反思才是目的。正如柯朗（R.Courant）所說：“數學的教學，逐漸流于無意義的單純的演算習題的訓練，固然，這可以發展運算的能力，但卻無助于提高獨立思考的能力”。因此要提高學生獨立思考有創造性地解決問題的能力，解題反思起著很大的作用，在這條引導學生學會如何進行解題反思的道路上，我們還任重而道遠。