從二元一次不定方程的解法談“一題多解”

李瑩瑩　張磊

摘要：不定方程，即未知數的個數多于方程個數且其解受一定限制（如解為整數，正整數等）的方程或方程組。不定方程又稱為丟番圖方程，是數論的重要分支學科，是歷史上最活躍的數學領域之一。二元一次不定方程是其中一類比較簡單的方程，它在什么情況下有解，有多少組解，以及求解方法，筆者在這里進行了小結。其中求解的方法都是一些初等數學的方法，體現了用初等數學思想解決高等數學中的問題。

關鍵詞：二元一次不定方程；數學思想；一題多解

一、用多種方法求解二元一次不定方程

在看到一個二元一次不定方程ax+by=c（其中a，b，c是整數，且a，b都不是0）時，我們首先要判斷其是否有解，利用判斷（a，b）是否整除c來確定。若方程有解，此時，我們可以使用觀察法，輾轉相除法，逐步縮小系數求解等方法來解二元一次不定方程。各種方法步驟如下：

1、1方法介紹

其中觀察法常適用于一些簡單的題目，這類題目我們能夠一眼看出方程特解，然后代入通解的公式進行計算即可。

輾轉相除法[1]，又稱帶余數除法，對于方程ax+by=1，（a，b）=1（1）

假定a>0，b>0，且a>b（注：若a

求解二元一次不定方程的方法很多，筆者在這里列出了以上三種，對于理論理解起來可能有些難度，下面我們通過一個具體的例子來嘗試一下以上3種方法。

1、2舉例分析

求二元一次不定方程15x+25y=100的一切整數解。

解：原方程等價于3x+5y=20，所以兩者的解完全相同。其中（3，5）=1，所以方程有解。求解方法如下：

方法1：由觀察法可得，3x+5y=20有一組特解為x0=10，y0=-2，因此全部解為：x=10-5t，y=-2+3t（t=0，±1，±2…），因此原方程的全部解為x=10-5t， y=-2+3t（t=0，±1，±2…）.

方法2：輾轉相除法：對于二元一次不定方程：3x+5y=20，先求解5x+3y=1，令a=5，b=3，則（3，5）=1，5=3×1+2，即q1=1，r1=2，又由3=2×1+1，即q2=1，r2=1，所以方程5x+3y=1的一個特殊解為：x =（-1）2-1（1×1+0）=-1 y=（-1）2（1×1+1）=2，所以方程3x+5y=20的一個解是x=40，y=-20，所以一切解可以表示為：x=40-5t，y=-20+3t（t=0，±1，±2…），即原方程的全部解為：x=40-5t，y=-20+3t（t=0，±1，±2…）

方法3：逐步縮小系數法：由3x+5y=20得y= -x+ ，令y= ，y應該為整數。得到一個新的不定方程：5y-2x=20，解該方程得，x= .

此時，令x= ，則有：2x-y=-20，即y-2x=20，顯然上式的一切解為x=t；y=20+2t（t=0，±1，±2…），所以，原方程的一切整數解為：x=40+5t，y= =20-3t（t=0，±1，±2…）

以上通過求解一道簡單的二元一次不定方程，列舉了使用不同方法求解的情形。根據學生的知識條件由淺入深、由此及彼、舉一反三，逐步擴展其知識范圍，引導學生學會運用靈活的思考方法，使課堂成為同學們合作、爭辯、探究、交流的場所，提高學生的數學學習興趣，不斷提高解題能力。

二、一題多解的意義

大學生已經接觸到高等數學的知識與方法，具備了使用不同的數學內容相互溝通，利用它們的內在聯系來思考問題的基本條件。在教學過程中，適當地使用一題多解[2]，能夠啟發和引導學生從不同角度、不同思路，啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，運用不同的方法解決實際問題，有助于加深學生對數學思想方法的理解，有利于培養學生的探索精神，可以訓練學生積極思維，觸類旁通，提高學生思維敏捷性、靈活性和深刻性。教師應幫助學生將每一個孤立的知識模塊聯系起來，培養學生良好的認知結構，從而培養學生的發散思維能力，這樣一來，有利于創新意識的形成和發展，是培養學生良好思維品質與創新精神的好方法。這樣不僅可以創設新穎的教學情境，激發學生的探究欲望，而且可以使課堂煥發生命活力，可以使新課堂理念得到有效的落實。

參考文獻：

[1]《初等數論》，閔嗣鶴、嚴士健著（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.

[2]張雅軒.談大學數學教學中一題多解的意義.長春師范大學學報，2014.

[3]潘承洞、潘承彪.《初等數論》.北京：北京大學出版社，1992年9月.

[4]凌梅.幾種常見的不定方程的求解.教育教學論壇.2011年3月，186-187.