行列式計算為背景的空間向量問題

項效萱

【摘要】行列式為高中數(shù)學(xué)選修課程中的內(nèi)容之一，該知識點簡單易掌握，并且與空間向量問題有著千絲萬縷的聯(lián)系，使用三階行列式計算法則，可以輕松解決多種空間向量問題。

【關(guān)鍵詞】行列式 法向量 空間三角形面積 三棱錐體積

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）24-0296-01

背景知識：行列式基本運算法則：

（1）二階行列式

（2）三階行列式

接下來我們來探討行列式在空間向量中的實際運用

（1）行列式的求解法向量

法向量為

則有，

該方法的本質(zhì)是：向量的“×”乘運算，得到垂直兩向量的新向量，即為法向量。其方向可利用左手定則判斷，與物理中的磁場力方向判斷方法是完全一致的。

例1：如圖所示，PA⊥面ABCD，面ABCD為矩形，PA=

AB=1，PD與面ABCD所成角為30°，點F是PB中點，點E在PB邊上移動，求面PAC法向量。

傳統(tǒng)解法：建立如圖所示坐標(biāo)點

其中A（0，0，0）P（0，0，1）

設(shè)法向量

用行列式求解：建立如圖所示坐標(biāo)系

A（0，0，0）P（0，0，1）

與傳統(tǒng)方法的求解得出的法向量一致。

小結(jié)：對于許多求解法向量較為復(fù)雜的問題，同學(xué)們很難容易出錯，使用行列方法既方便又不易出錯。

（2）行列式求解空間三角形的面積。

由向量的“×”乘定義知道：的本質(zhì)為垂直于

的一個向量，

它的模為：（夾角），

而△ABC的面積為：

∴

（3）行列式求解三棱錐體積空間內(nèi)有四點，任意一點作為頂點，例如A

則有

=（x3-x1，y3-y1，z3-z1）

=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）

三棱錐體積

例2：如圖，長方體AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E，F(xiàn)，G

分別為棱DD1，D1C1，BC的中點，（1）試在底面A1B2C1D1上找一點H，使EH/平面FGB1；（2）求四面體EFGB1的體積。

解（1）略

（2）本題特點在于無法直接使用體積法換頂點，因為這4個頂點都無法直接得到棱錐的高。只能通過第一問結(jié)論將點E平移至H點處，對學(xué)生解題能力要求較高。

接下來我們使用行列式方法求解，已知：

小結(jié)：許多求解體積的題目，所求三棱錐形狀不規(guī)則，故求解困難，而使用行列式求解則不受其影響，計算比較方便。

顯然，行列式在立體幾何中能幫助我們求解一些無法使用常規(guī)方法求出的題目，并且能大大降低在計算時出現(xiàn)錯誤的概率，是我們立體幾何學(xué)習(xí)的重要補充和備選方案。