物理模型的抽象、還原與教學對策
——以2016年高考試題為例

□丁岳林

（江蘇省常州高級中學，江蘇常州 213003）

物理模型的抽象、還原與教學對策
——以2016年高考試題為例

□丁岳林

（江蘇省常州高級中學，江蘇常州 213003）

物理模型構建的教學和訓練，是培養學生科學思維的重要途徑，教師在教學中通過提出問題讓學生自己嘗試建立模型尋找解決問題的途徑和方法，變學生被動接受為主動地去研究、探索，培養學生的創新能力.

物理模型；模型構建；創新

物理模型無論對物理學研究還是物理的學習都是很重要的，新的《普通高中物理課程標準》征求意見稿中“模型構建”是出現頻度最高的熱點詞語，關于學科核心素養的表述以及在課程內容、學業質量標準、實施建議等部分也反復明確模型構建的要求.

物理模型通常分為三類：第一類是實體物理模型，用來代替由具體物質組成的表征研究對象的實體系統，如質點、點電荷、單擺、彈簧振子、理想氣體、理想變壓器、薄透鏡等；第二類是條件模型，把研究對象所處的外部條件理想化，如光滑水平面、輕桿、輕繩、均勻介質、勻強電場等；第三類是物理過程模型，對具體物理過程純粹化、理想化的抽象，如熱學中的等溫過程、等容過程、等壓過程、絕熱過程，力學中的勻速直線運動、勻變速直線運動、斜拋運動、勻速圓周運動和簡諧運動等.

綜觀近年來高考命題，對構建物理模型的考查已體現出較高的要求，一些高考題的命題是將實際問題進行抽象，呈現在考生面前的是一抽象模型，而解題過程往往要將抽象模型還原（化歸）為直觀模型（或基本模型）；有一部分高考題的命題呈現在考生面前的是實際問題，解題過程中又需要將實際（模型）情境抽象成理想化模型.本文試以2016年高考試題為例來談談物理模型的抽象、還原與等效，期望引起教師對構建物理模型教學的更多關注.

一、等效勻加速直線運動模型的應用

例1［江蘇卷題15（2）］回旋加速器的工作原理如圖1a所示，置于真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間狹縫的間距為d，磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直，被加速粒子的質量為m，電荷量為+q，加在狹縫間的交變電壓如圖1b所示，電壓值的大小為U0.周期T=一束該粒子在t=0～時間內從A處均勻地飄入狹縫，其初速度視為零.現考慮粒子在狹縫中的運動時間，假設能夠出射的粒子每次經過狹縫均做加速運動，不考慮粒子間的相互作用.求：粒子從飄入狹縫至動能達到最大所需的總時間t總.

圖1

模型分析：回旋加速器工作時，粒子在電場中作勻加速運動，在磁場中勻速率回旋，可以作出粒子的速率v與時間t的函數圖像如圖2，圖中各段傾斜直線對應著粒子在電場中的加速運動，設粒子在電場中各次運動時間依次為t1、t2、t·3··、tn，隨著一次次加速，粒子每次通過狹縫的時間越來越短；圖中的各段水平線對應著粒子在磁場中的回旋，由磁場中回旋的特點知道，各次在磁場中的半圓周運動時間都相等.

圖2

粒子運動的總時間為磁場中的（n-1）個半圓周及電場中n段直線運動的時間之和.

粒子在電場中的各次時間并不相同，怎樣求解粒子在電場中的時間是本題的難點.常規的方法是對粒子各次通過電場狹縫過程應用運動學公式求解時間，然后求和，即tB總=t1+t2+ t3···+tn.

本題的巧妙解法是建立等效運動模型，在圖2中，將粒子各次勻速率運動的部分剔除，再將各段勻加速運動的部分合并到一起，粒子在電場中的運動等效于初速度為零的勻加速直線運動，加速度總位移為x=nd，由x=atE總2解得粒子從飄入狹縫至動能達到最大所需的總時間t總=tB總+tE總，解得

以上求解粒子在電場中運動時間技巧性很強，采取化零為整的方法，將分階段的多次勻加速直線運動進行合并，用一次性連續的勻加速直線運動模型來替代，回避了復雜的求和運算過程，使問題順利得到解決.

二、等效簡諧運動模型的應用

例2［上海卷題25］地面上物體在變力F作用下由靜止開始豎直向上運動，力F隨高度x的變化關系如圖3所示，物體能上升的最大高度為h，h＜H.當物體加速度最大時其高度為_______，加速度的最大值為______.

圖3

模型分析：本題的常規解法如下，從圖3可以得出力F隨高度x的變化關系：F=F0-kx，其中k=，物體到達高度x=h處時物體從高度x=0到x=h處的過程中，力F做正功，重力G做負功，由動能定理可得：h=mgh，而可以計算出：考慮兩個極端位置x=0和x=h的加速度，物體在初位置x=0處加速度方向向上，由F0-mg=ma1計算得當物體運動到末位置x=h處時，加速度方向向下，由mg-Fh= ma2，而計算可得：

因此，物塊加速度最大的位置是x=0或 x=h處.最大加速度大小為

圖4

本題的直觀模型為一豎直方向振動的彈簧振子，如圖4，輕彈簧一端固定在坑底的A點，上端栓一質量為m的物塊，剛開始時物塊被固定在與地面平齊的高度（x=0），彈簧壓縮量為H，即圖中D點為彈簧原長位置，釋放物塊后，物塊在BO1C之間做簡諧運動.振動過程中，物塊受向下的重力mg和向上的彈簧力（彈簧始終處于壓縮狀態），彈力的大小滿足F=F0-kx，由振動的對稱性，物塊在振動的兩端點加速度最大，且大小相等.在B點，由牛頓第二定律，F0-mg=ma，解得

考慮振動的最高位置C，由牛頓第二定律，mg-Fh=ma2，解得由①②利用a1=a2=a消去m，解得

以上根據振動模型求解最大加速度的過程比常規解法要簡潔、自然，振動的最高點和最低點加速度大小相等且取最大值，這是振動模型的基本結論，然后，只要考慮最高點和最低點加速度大小相等，應用牛頓第二定律即可解答，常規解法中應用動能定理求F0的環節要求則很高.

三、抽象的分子作用力模型的還原

例3［上海卷題32］如圖5，長度L=0.8m的光滑桿左端固定一帶正電的點電荷A，其電荷量Q=1.8×10-7C；一質量m=0.02kg，帶電量為q的小球B套在桿上.將桿沿水平方向固定于某非均勻外電場中，以桿左端為原點，沿桿向右為x軸正方向建立坐標系.點電荷A對小球B的作用力隨B位置x的變化關系如圖6中曲線Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力隨B位置x的變化關系如圖6中曲線Ⅱ所示，其中曲線Ⅱ在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范圍可近似看作直線.求：

（1）在合電場中，x=0.4m與x=0.6m之間的電勢差U；

（2）已知小球在x=0.2m處獲得v=0.4m/s的初速度時，最遠可以運動到x=0.4m.若小球在x=0.16m處受到方向向右，大小為0.04N的恒力作用后，由靜止開始運動，為使小球能離開細桿，恒力作用的最小距離s是多少？

圖5

圖6

模型分析：本題中小球B的受力情形的設置比較新穎，共有兩個變力作用：一是A球給B球的靜電排斥力，服從庫侖定律；二是規律沒有直接明確的非勻強電場的水平方向的電場力，給出了兩個力的合力在x的不同區間呈現的復雜規律.其實，這道題的作用力情境是由我們考生熟悉的分子作用力模型抽象而來.

圖7

我們將模型來還原一下.如圖7所示為中學物理教材給出的分子力與分子間距離的關系，兩個分子間既存在相互排斥力F1，又存在相互吸引力F2，引力和斥力同時存在，實際對外的表現是它們的合力.兩種作用力都隨著距離的增大而減小，斥力的圖線較陡，即斥力隨著距離的變化比引力更快.當r＜r0時，F1＞F2，合力表現為斥力；當r=r0時，F1=F2，合力為0；當r＞r0時，F1＜F2，合力表現為引力.

我們還可以進一步研究分子力做功與分子能量變化的情況，例如，兩個分子原來距離很近，在逐漸分開到很遠的過程中，分子力先做正功后做負功，分子動能先增大后減小，分子勢能先減小后增大.關于分子力做功，可以根據F-r圖像圍成的面積進行計算.

在本道高考題中，將分子力的兩個區間作了理想化：即將圖7中的AB段視為傾斜直線，CD段視為水平線，考查的主要角度是功能關系，具體求解過程并不困難，此處不再展開.

四、實際電磁感應模型的抽象

圖8

例4［天津卷題12］電磁阻尼作用可以借助如下模型討論：如圖8所示，將形狀相同的兩根平行且足夠長的鋁條固定在光滑斜面上，斜面與水平方向夾角為θ.一質量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間，恰好勻速穿過，穿過時磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定，其引起電磁感應的效果與磁鐵不動，鋁條相對磁鐵運動相同.磁鐵端面是邊長為d的正方形，由于磁鐵距離鋁條很近，磁鐵端面正對兩鋁條區域的磁場均可視為勻強磁場，磁感應強度為B，鋁條的高度大于d，電阻率為ρ，為研究問題方便，鋁條中只考慮與磁鐵正對部分的電阻和磁場，其他部分電阻和磁場可忽略不計，假設磁鐵進入鋁條間以后，減少的機械能完全轉化為鋁條的內能，重力加速度為g.

（1）求鋁條中與磁鐵正對部分的電流I；

（2）若兩鋁條的寬度均為b，推導磁鐵勻速穿過鋁條間時速度v的表達式.

模型分析：本題中有兩個研究對象：一是沿斜面勻速下滑的磁鐵；二是固定在斜面上的兩根實心的鋁條.對于磁鐵的勻速運動，重力沿斜面方向的分力與磁場力（安培力）平衡，很簡單.

關于磁場力的產生和進一步討論涉及的模型的構建非常困難.

圖9

其實，經抽象后的模型如人教版選修3-2課本的典型習題：設圖9中的磁感應強度B=1T，平行導軌寬l=1m，金屬棒ab以1m/s速度貼著導軌向左運動，R=1Ω，其他電阻不計，求通過R的電流.

圖10

在本道高考題中，與ab棒對應的如圖10中的柱體a1a2a3a4-b1b2b3b4（以下簡稱柱體），此柱體為鋁條與磁鐵正對的部分，由題給的信息，磁鐵端面正對鋁條區域的磁場視為勻強磁場，其他部分磁場及電阻均忽略，柱體與磁鐵發生相對運動，切割磁感線產生感應電動勢，相當于電源，E=Bdv，此處v為柱體相對于磁鐵的速度，柱體的電阻（電源內阻）本問題情境設置中，鋁條的其他部分為外電路，充當連接的作用，且不計電阻，即R=0.閉合電路中的電流為I=，柱體受到的安培力為F=BId.

對磁鐵，由平衡條件有：mgsinθ-2F'=0，式中F'為F的反作用力，由牛頓第三定律，F'=F，式中的2是考慮到磁鐵有兩個端面.

五、結語

物理模型構建的教學和訓練，是培養學生科學思維的重要途徑，因此在教學中必須高度重視.物理模型構建是貫穿整個物理課本的，在教學中要注意充分發揮物理模型構建對創新能力培養的功能.關于概念、規律建立的過程是：提出問題→建立模型→構建新理論→解決問題.傳統的教學因受應試教育的影響，重點往往放在物理概念、規律基本條文的記憶和簡單應用（解題）上，而對概念、規律的創立重視很不夠.因此，我們應強化“提出問題”“建立模型”這兩個環節的教學.物理學內容像一座座大廈，物理教材呈現在學生面前的是一幢幢建筑完好的大廈，對大廈本身的建筑過程留下的痕跡不深，這對培養學生的創新思維能力是極為不利的，教師在教學中很重要的一項任務就是要向學生介紹這些大廈是如何建筑起來的.通過提出問題讓學生自己嘗試建立模型尋找解決問題的途徑和方法，變學生被動接受為主動地去研究、探索.如由開普勒行星運動三定律和牛頓第二定律去“發現”萬有引力定律；由牛頓第二定律、第三定律去“發現”動量守恒定律；通過研究電磁感應現象實驗去“發現”產生感應電流的條件和關于感應電流方向判斷的規律.這樣的探索、研究既能培養學生的創新能力，也能培養學生的創新意識和創新自信心，這對學生今后進一步從事物理（科學）知識的學習、研究是極為重要的基礎，可以相信通過這樣的教學，培養出來的學生將來一定能自己去構建新的物理學（科學）大廈.