由一道題的多種解法引出對一類題型的通法研究

江蘇省淮陰中學(xué)(223002)

盧連偉●

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由一道題的多種解法引出對一類題型的通法研究

江蘇省淮陰中學(xué)(223002)

盧連偉●

∴F(x)在(0,3)單調(diào)遞增，(3，+∞)單調(diào)遞減.

∴03.要證a+b>6只要證b>6-a>3,

即證F(b)>F(6-a).∵F(a)=F(b)，即證F(a)

令P(x)=F(x)-F(6-x),0

即證3(t+1)lnt<6(t-1),t∈(0,1).

令p(t)=3(t+1)lnt-6(t-1),t∈(0,1),

∴p′(t)在(0，1)單調(diào)遞減，∴p′(t)

∴p(t)在(0，1)單調(diào)遞減，∴p(t)

題后反思 上述方法中的前兩種方法的本質(zhì)實(shí)際上是一樣的，都是把零點(diǎn)通過單調(diào)性偏移到極值的同一側(cè)，便于構(gòu)造函數(shù)證明，只不過第一種方法是直接偏移，第二種方法是通過取對數(shù)后再偏移，第三種方法是構(gòu)造零點(diǎn)比值作為新的變量.這兩類方法對于這種零點(diǎn)不等式問題的證明非常有效，希望讀者深刻體會.

牛刀小試 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax,a為常數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1、x2，求證x1+x2>2.

分析 (1)f′(x)=ex-a.①a≤0時(shí)，f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增；②a>0時(shí)，f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減，(lna,+∞)單調(diào)遞增.(2)∵f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減，(lna,+∞)單調(diào)遞增,

∴fmin(x)=f(lna)=a-alna<0,∴l(xiāng)na>1,∴a>e.

方法一 由f(x1)=ex1-ax1=0及f(x2)=ex2-ax2=0,

G632

B

1008-0333(2017)13-0048-01