構造函數在數列解題中的幾例妙用

廣西欽州市第一中學(535000)

勞德耀●

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構造函數在數列解題中的幾例妙用

廣西欽州市第一中學(535000)

勞德耀●

函數思想在解決諸多數學問題中起著重要作用，數列作為一種特殊的函數，有關數列的問題可以考慮構造函數來解決.本文略舉幾例，供高中師生參考．

構造函數;數列解題;應用

一、解決數列求和問題

分析 如若直接從條件an+2=an+1-an入手，化簡變形，過程復雜繁瑣，因此可以考慮構造抽象函數f(x+2)=f(x+1)-f(x)．

解 設f(n)=an，則f(n+2)=f(n+1)-f(n).

若函數f(x)滿足f(x+2)=f(x+1)-f(x)，則f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).

兩式相加得f(x+3)=-f(x)，則f(x+6)=-f(x+3)，因此f(x+6)=f(x)，

即函數的周期是6，且易求得

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，

而2012=335×6+2,

所以S2012=a1+a2+…+a2012=a1+a2=3．

評析 數列給出遞推公式，要求求前n項和的一種情況就是數列是周期數列，當然直接探究其周期性亦簡便，然而構造函數更能了解其實質規律，再運用抽象函數的知識進行探究，得出周期，最后得解．

二、解決數列最值問題

分析 易得出nSn是關于n的一個三次函數，解決最值問題可以聯想到導數，所以構造函數思想簡單直接．

評析 數列中的最值問題，其實大多數可以通過構造函數進行化解，可以構建二次函數，三角函數等，從而就可以采用導數的方法解決，這樣的轉化大大提高了解題效率．

三、證明與數列有關的不等式

證明 (Ⅰ)先用數學歸納法證明0

①當n=1時，由已知，結論成立.

因為00，

所以f(x)在(0，1)上是增函數.又f(x)在[0，1]上連續，

從而f(0)

故當n=k+1時，結論成立.

由①、②可知，0

又因為0

綜上所述,0

由(Ⅰ)知，當0

所以g(x)在(0，1)上是增函數.

又g(x)在[0，1]上連續，且g(0)=0，

所以當00成立.

評析 從以上兩例可看出,對于一階或二階遞推數列與不等式結合的題目,有時采用構造函數,并利用函數的單調性加以解決,能起到出奇制勝的效果.

[1]楊瑞強.構建函數巧解數列問題[J].中學生數學，2012(6).

[2]于志洪.構造三次函數解最值問題[J].數學教學，2015(12).

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1008-0333(2017)13-0019-01