勻強電場中的二個重要定理

烏魯木齊市教育研究中心(831100)

張萬軍●

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勻強電場中的二個重要定理

烏魯木齊市教育研究中心(831100)

張萬軍●

本文證明了勻強電場中兩個重要的定理：場中兩點間的的電勢差和兩點間的距離成正比；已知場中確定三點的電勢，場強可唯一確定.進一步通過實例說明定理的應用及拓展.

勻強電場;三點電勢;確定場強

勻強電場是指場中任意一點電場強度的大小和方向都不變的電場，嚴格意義上的勻強電場是不存在的，它是為我們研究方便引入一的一個理想模型，如同勻速運動.

勻強電場的電場線平行等距,等勢面和電場線垂直.“線面垂直”的這一特點為我們解決勻強電場中的問題提供了特有的方法.

下面給出的在勻強電場中的兩個定理及其推論在解決一些與電勢、場強相關的問題中非常有用.

一、定理及證明

定理1 如圖1，勻強電場中AB兩點的距離為L，電勢差為UAB, 則UAB與L成正比，即UAB∝L.

證明：UAB=Ed=ELcosθ∝L

推論：與AB平行等長的線段，其兩端的電勢差與AB兩端的電勢差相等.

由于電勢差和兩點間的距離成正比，是一個線性函數，其圖像是直線，所以，諸如解析幾何這的中點坐標公式，定比分點公式等都可以使用.1999年高考考了這樣一道題目,開創了此類題目的先河.

圖2中A、B、C、D是勻強電場中一正方形的四個頂點.已知A、B、C三點電勢分別為UA=15V，UB=3V，UC=

-3V．求D點的電勢UD.

根據推論，我們有UD-UC=UA-UB,即UD-(-3)=15-3，UD=9V

定理2 已知勻強電場中確定的三點(其確定的平面與電場平行)的電勢，可以求得場強.

推論：已知一點(A)到其他兩點(B、C)的電勢差(UAB、UAC)，可以求得場強.

確定的三點意味著三點構成一個確定的三角形.滿足下面任意一個條件，三角形即被確定.已知三邊；已知兩邊及其夾角；已知兩角和任意一邊

證明 為方便，考慮已知三角形兩邊d1、d2、和夾角α的情況.

方法二 如圖4,等勢面法確定.(不妨設UA>UB>UC)

(3)連接BD，過A做BD的垂線AE，AE的方向就是場強的方向.

二、應用

例1 如圖5，勻強電場中有A、B、C三點，∠ACB=90°，AC∶CB=1∶3，一點電荷從C點到A點電場力做功為2 J，從A到B移動的過程中電場力做功為4 J.確定場強方向.

可以設C點電勢為0，點電荷電量為1庫侖.則A點電勢為-2伏，B點 電勢為-6伏.顯然，BC上距C的三分之一BC處D的電勢為-2伏，所以AD為等勢面.過C點與AD的垂線即為場強方向，與AC的夾角為45°.

(1)無電場時，小球到達A點時的動能與初動能的比值；

(2)電場強度的大小和方向.

本題的第二問難倒了一批學生.難點之一：多了一個場，是一個復合場問題；難點之二：兩次拋出的方向不確定.這兩個點干擾了學生的思維，他們總覺得少了什么條件.

其實，對兩次拋出的過程使用動能定理后，我們會發現，可以用小球的初動能表示O點到A、B兩點的電勢差.從而使問題迎刃而解.

顯然，圖7中，將OB三等分，在二等分的M點，其電勢與A點相同.由幾何關系知，此時OM=OA，AM的垂線恰是△MOA底邊AM上的高，所以α=30°.

即電場方向與豎直向下的方向的夾角為30°.

設場強的大小為E，有qEdcos30°=qUOA

我們看到，在實際問題中，若三點電勢的具體值給出，可以很方便地通過觀察和簡單的計算確定場強的方向，不必按照方法一、二按部就班求解.

三、與數學的聯系

平面直角坐標系有兩個互相垂直的坐標軸，恰好滿足電場線和等勢面垂直的特點.若將一個坐標軸表示電勢，那么另外一個坐標軸的方向就是場強的方向.前面給出的兩個定理可以在這里直接使用.

如圖8，已知平面直角坐標系中A、B、C三點的橫坐標分別為3、4、5，確定坐標原點及x、y軸.

步驟：如圖9.

(1)顯然，A、C中點D的橫坐標為4.連接BD，y軸與BD平行,x軸與BD垂直.

(2)延長CA至E，使AE=3AD,D點就是坐標原點.

(3)過E點做DB延長線的垂線，垂線即為x軸.

(4)過E點做x軸的垂線，垂線即為y軸.

若已知三角形的邊長，還可以求出三點的縱坐標.

四、拓展

(1)若已知三點確定的平面與場強方向不平行，可以將三個點投影到電場線決定的平面上，再用定理二求得場強.

(3)在講兩個定理之前，先做一個已知三點的橫坐標，求坐標系的數學問題是不是對兩個物理定理的理解更好呢？

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