小議運用直線參數方程的幾何意義解題

浙江省余姚市第五中學(315490)

趙文煒●

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小議運用直線參數方程的幾何意義解題

浙江省余姚市第五中學(315490)

趙文煒●

數學知識往往具備了雙重性，既有代數的表性也有幾何意義．從教學現狀來看，不少教學更為關注的是是否已經解決問題，而比較少的關注解決問題的方式性．從學生解決問題的方式來看，其比較喜歡側重以運算為主的代數方式，比較少的考慮知識的幾何背景和意義．從新階段的高考區分來看，試題更側重的是對于學生思維的考查，讓思維優秀的學生獲得更多的可能性，因此以思維考查為主的幾何意義方式受到更多的關注．正是基于此，筆者以為教學對于具備雙重性的知識而言，切勿忽視知識的幾何意義的理解和運用，深知在一定程度上還要加強幾何意義的教學．

問題1：“定點”已知型

典例1 已知l過P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，求|PA|·|PB|為最小值時，l的方程．

思考：本題是直線參數方程幾何意義運用最為經典的問題，筆者建議課堂教學中將問題的常規代數解法與參數方程解法進行對比教學，分析兩種解法中各自的優缺點，通過吸收優點舍棄缺點，從而獲得知識更為深刻的理解．

問題2：“定點”轉換型

上述問題不難發現，利用直線參數方程的幾何意義解題，首先找到存在于直線上的一個定點，這樣直接的使用參數的幾何意義是比較容易求解的．但是某些問題中并不存在這樣的顯然的定點，需要我們通過轉換找到這個定點，因此轉換型問題就成為進一步研究的對象．

思考 某些問題所涉及的定點并不明確， 我們需另選定點，一般在已知直線上都可以找到一個可以利用的點，從而問題轉換為參數方程的幾何意義求解．有興趣的讀者可以利用常規直線和橢圓的位置關系嘗試，也是不錯的選擇．

問題3：“定點”不定型

筆者這種稱呼是認為直線中的定點兩坐標中有一個是未知的，此時問題猶如直線y=kx+b的形態，變量比較多且運算量大，但是若能合理利用參數方程也能簡捷處理問題．

綜上可知，參數方程幾何意義視角對于距離型問題顯得特別有效，這與參數方程本身的特點密不可分．從教學更高的角度來說，常規的代數運算將幾何問題進行了代數化，這正是笛卡爾建立解析幾何的初衷，但是不少問題還是有幾何意義的視角，從培養學生思維的角度來說，幾何對于思維的啟發要遠遠優于代數，值得教學多加關注．

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1008-0333(2017)10-0052-01