高中數學恒成立問題的解題策略探討

江蘇省無錫市第三高級中學(214000)

童 嫣●

?

高中數學恒成立問題的解題策略探討

江蘇省無錫市第三高級中學(214000)

童 嫣●

一、巧用換元、間接解決問題

二、數形結合，構造問題框架

在高中階段的數學學習過程中，一些較為簡單的函數恒成立問題，如一元一次、多元一次、一元兩次、多元兩次等問題一般出現在選擇填空中，而在需要運用綜合知識的解答題中往往出現的是二次函數和指數對數函數等等，這一類的問題要想直接通過計算解決有一定難度，不僅是計算麻煩，而且需要列出一些技巧性的不等式，具有一定的挑戰性.因此，應該進行數形結合，按照不等式的兩邊分別畫出圖象再求解問題.例如，已知有函數f(x)=logax,g(x)=(x-1)2,且當x在區間(1,2)內，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍.對于這樣的題目，學生們如果直接著手進行計算整道題目都會變得十分復雜，但采取數形結合的辦法，如圖畫出兩個函數的圖象，就可以很快地根據圖象解決問題.如圖可以看到當01.其次，若要在區間(1,2)范圍內滿足不等式f(x)>g(x)恒成立，則必須要讓f(x)圖象位于g(x)圖象上方，則可以確定一個不等式，即f(2)≥g(2)，可以很輕松需要1≤loga2,則當x在(1,2)范圍內，若使不等式成立，必須要使1

三、分類討論、深層探討問題

一般來說，二次函數在不同的主元素取值范圍內其增減性是不同的，我們在學習過程中常常以是否存在定點，或說求出最大值、最小值為解決目標.最值問題一般都在整個函數區間范圍內探討增減性分解的某些點，因此在探討二次函數恒成立問題中，應該將函數的基本性質、圖象特點和分類討論作為解題的三個思路，分別切入.結合圖象在上文已經簡略介紹過，但這樣的方法并不能適用于多元二次函數問題，例如，當遇到g(x)=mx2+nx+q>0恒成立，x在實數范圍內，且m不等于0.則首先需要m>0且Δ<0.當在整個實數范圍內g(x)<0恒成立，則必須要m和Δ同時<0.像這樣分情況討論，在具體的一元二次型函數問題中，根據已知條件，以未知條件為依據，討論二次項系數和Δ的取值條件解決問題可以將復雜問題簡單化.除此之外，還可以將分類討論和換元法結合在一起解決數學問題，例如，已知函數f(x)在x<0時的表達式為3x-2,當x>0時，函數表達式為2x，求在整個實數范圍內能使得f(x)≥1的所有x的值.在剛接觸到題目時，學生們通常會對出現的復雜關系感到一頭霧水，這時可以運用換元法，在x<0使令t=3x-2,因此需要解答的方程變成了t≥1，同理當x>0時，令t=2x.這樣十分便于學生們進行方程的計算.在計算這個方程的過程中引入圖象，在直角坐標系中觀察會更加直觀.

在高中階段的數學學習過程中，不僅要學習基礎的數學概念和課本上的知識，還應該形成較為成熟的數學思想，能夠通過數形結合、換元等方法解決多樣性的數學問題，多加練習，在練習過程中不斷歸納、總結，以此鍛煉學生們的恒成立問題的解題能力，擊破恒成立問題這一大障礙.

G632

B

1008-0333(2017)13-0046-01