例談利用對稱法解題的三種技巧

湖南省衡陽幼兒師范學校(421008)

丁白英●

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例談利用對稱法解題的三種技巧

湖南省衡陽幼兒師范學校(421008)

丁白英●

對稱法是一種富有創造性的思維活動, 本文通過舉例的方法,介紹了在數學解題中恰當利用對稱的思想對三角、代數或幾何問題在內部進行靈活轉化，會收到意想不到的效果.該方法打破了常規的數學解題思路,通過觀察、聯想,使復雜的問題簡單化,對學生解答數學難題,提高數學學習興趣有幫助.

對稱法;換元;結構;證明

一、利用對稱法對題設部分實施均值換元

例2 求函數Z=xy(x>0,y>0)滿足條件x+y=1的最大值.

二、利用對稱法對結論部分實施均值換元

分析 直接證明無從下手，觀察變量a,b,c可知：它們在條件及要證明的結論式中具有對稱性.

二、利用對稱法實施添補所求式的對稱式

有些數學問題，表面上看不具有對稱性，但用對稱的眼光去觀察、審視，通過形、式添補造成對稱，可得到巧妙解法.

例5 設a,b(a>b)是方程x2+x-1=0的兩實根，

求a4-3b的值.

例6 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

解 設x=sin10°sin30°sin50°sin70°,y=cos10°cos30°cos50°cos70°,

三、利用對稱法實施對稱坐標法

有些數學問題，若能洞察到問題所具有的對稱性，根據有關點的對稱性進行對稱坐標法可以簡化運算，特別是對一些解析幾何的問題會收到意想不到的效果.

求過點A(2，1)的弦P1P2的中點P的軌跡方程.

例8 直線l與圓相切，切點M恰為直線l交雙曲線(x-1)2-y2=1所得弦AB的中點，求直線l的方程.

解 設M(x,y),A(x-m,y-n),B(x+m,y+n).

總之,用對稱性解題的關鍵是敏銳地抓住事物在某一方面的對稱性，這些對稱性往往就是通往答案的捷徑,利用對稱法分析解決數學問題，可以避免復雜的數學演算和推導，直接抓住問題的實質，出奇制勝，快速簡便地求解問題．

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1008-0333(2017)13-0036-02