巧用圓錐曲線的定義解題

江蘇省揚州中學教育集團樹人學校(225000)

李冬明 ●

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巧用圓錐曲線的定義解題

江蘇省揚州中學教育集團樹人學校(225000)

李冬明 ●

圓錐曲線的定義反映了它們的本質特征，它是推導圓錐曲線方程和研究幾何性質的依據，又是解題常用的一把鑰匙.在處理解析幾何問題時，若能結合圓錐曲線的定義來考慮，可以避免繁瑣的計算過程，達到化繁為簡、事半功倍的效果.

圓錐曲線；定義；焦點；離心率

我們知道，課本上給出的圓錐曲線的定義有兩種不同的形式，第一定義體現了“質”的區別，第二定義體現了“形”的統一.巧用圓錐曲線的定義解題是解決有關問題的重要策略，要引起重視.以下舉例說明圓錐曲線的定義在解題中的應用.

一、巧用定義解決軌跡(方程)問題

例1 在圓C：(x+1)2+y2=25內有一點A(1,0)，Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C,Q的連線的交點為M，求M點的軌跡方程．

變式1：已知定點A(0,7),B(0,-7),C(12,2)，以C點為一個焦點，作過點A、B兩點的橢圓，則另一焦點F的軌跡方程是____．

變式2：到定點A(2,0)的距離比到直線x+1=0的距離大1的點M的軌跡方程是____．

解析 根據題意知，點M到定點A(2,0)的距離與到直線x=-2的距離相等，故M點的軌跡是以A為焦點的拋物線，方程為y2=8x．

二、巧用定義解決焦半徑(焦點弦)問題

解析 方法一根據第二定義，由點P到右準線的距離求出它到右焦點的距離，再由第一定義求出點P到左焦點的距離；方法二由點P到右準線的距離求出它到左準線的距離，再由第一定義求出點P到左焦點的距離．

三、巧用定義解決離心率問題

變式：我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為“相關曲線”.已知F1、F2是一對相關曲線的焦點，P是它們在第一象限的交點，當∠F1PF2=60°時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是____．

四、巧用定義解決最值問題

五、巧用定義解決其它問題

解析 如圖，分別過點A、B及圓心M作雙曲線右準線l1的垂線，垂足分別為A*、B*、M*．則

(其中e為雙曲線的離心率，R為圓的半徑)

故以AB為直徑的圓與雙曲線的右準線有2個交點．

探究：若將“雙曲線”改為“橢圓”、“拋物線”會有幾個交點？

綜上，運用圓錐曲線的定義解題，不僅能抓住問題的本質，還能避開復雜的運算，使問題巧妙獲解.利用圓錐曲線的定義解題的關鍵是先識別出可用定義解題的題目，應注意以下幾種情形：

(1)題目中有到兩定點間距離關系的條件或動點到定點、定直線距離關系的條件，應考慮是否可利用圓錐曲線的定義解題；

(2)已知定曲線方程，在已知或未知關系中有動點到準線、焦點距離時，可補上動點到相應焦點、另一焦點或相應準線的距離，再考慮是否可用定義解題；

(3)當已知或未知條件中的點構成三角形(其中有焦點、曲線上的點)，常常將定義與解三角形有關知識與方程綜合使用；

(4)當題目中等量關系不夠用時，應考慮用定義解題.總之，靈活應用圓錐曲線的定義解題，優解題思路，方便求解.

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1008-0333(2017)13-0007-02