高考物理解題中常用的數學方法例析

華中科技大學附屬中學(430074)

許 文●

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高考物理解題中常用的數學方法例析

華中科技大學附屬中學(430074)

許 文●

物理科《考試說明》明確指出考生應具有理解能力、推理能力、分析綜合能力、應用數學處理物理問題的能力與實驗能力，其中對應用數學處理物理問題能力的要求是“能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并能根據結果得出物理結論，必要時能運用幾何圖形、函數圖象進行表達、分析.”本文通過近兩年物理高考實例的分析，談談一些數學方法在高考物理解題中的應用，幫助同學們提高應用數學處理物理問題能力.

一、比例法

比例法可經避開與解題無關的量，直接列出已知量與未知量的比例式進行計算，可使解題過程簡化.應用比例法解物理題，要注意物理公式中變量之間的比例關系及成立條件.

例1 (2016浙江)如圖1所示，a、b兩個閉合正方形線圈用同樣的導線制成，匝數均為n=10匝，邊長la=3lb，圖示區域內有垂直紙面向里的均強磁場，且磁感應強度隨時間均勻增大，不考慮線圈之間的相互影響，則( )

A．兩線圈內產生順時針方向的感應電流

B．a、b線圈中感應電動勢之比為9∶1

C．a、b線圈中感應電流之比為3∶4

D．a、b線圈中電功率之比為3∶1

點評 本題中兩正方形線圈的邊長l不同，但要求兩線圈中E、I、P的比值，因此可以分別推導出E、I、P與其他物理量之間的關系的表達式，再根據其表達式求比值.

二、取整法

在一些物理規律的表達式中，由于某些量(如車廂的節數、碰撞的次數等)只能取整數，往往會對其它量的取值有種制約關系.解題時要結合實際進行分類討論.

例2 (2015全國Ⅱ) 在一東西方向的水平直鐵軌上，停放著一列已用掛鉤鏈接好的車廂.當機車在東邊拉著這列車廂以大小為a的加速度向東行駛時，鏈接某兩相鄰車廂的掛鉤P和Q間的拉力大小為F；當機車在西邊拉著這列車廂以大小為2a/3的加速度向西行駛時，鏈接某兩相鄰車廂的掛鉤P和Q間的拉力大小仍為F.不計車廂與鐵軌間的摩擦，每節車廂質量相同，則這列車廂的節數可能為( )

A．8 B．10 C．15 D．18

三、幾何法

物理問題求解中常用到的幾何法有：對稱點的性質、兩點間的直線距離最短、三角形、圓的性質、立體幾何與解析幾何相關知識等.

(1)作幾何圖

例3 (2016全國I)利用三顆位置適當的地球同步衛星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線通訊.目前，地球同步衛星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍.假設地球自轉周期變小，若仍僅用三顆同步衛星來實現上述目的，則地球自轉周期的最小值為( ).

A．1h B．4h C．8h D．16h

點評 本題通過推理分析，作出如圖2所示的能實現題目中通訊要求、且地球自轉有最小周期時衛星間的空間位置關系圖，由幾何知識可求出此時衛星的最小軌道半徑rmin=2R，為問題的最終求解邁出了最關鍵的一步.

(2)作矢量圖

例4 (2016全國卷Ⅰ)如圖3所示，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點，另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉物塊b，整個系統處于靜止狀態，若F方向不變，大小在一定范圍內變化，物塊b仍始終保持靜止，則( ).

A．繩OO′的張力也在一定范圍內變化

B．物塊b受到的支持力也在一定范圍內變化

C．接a和b的繩上的張力也在一定范圍內變化

D．物塊b與桌面的摩擦力也在一定范圍內變化

解法1 由于系統處于靜止狀態，則連接a和b的繩上的張力大小FT=mag，繩OO′的張力FO不變；設b物上的細繩與水平方向夾角為α，力F與水平方向夾角為θ，b物受到桌面的支持力為FN，靜摩擦力為Ff.對b物的平衡有：Fsinθ+magsinαFN=mbg，Fcosθ±Ff=magcosα；可知當F在一定范圍內變化時FN與Ff應在一定范圍內變化.本題正確選項為BD.

解法2 由于b物塊處于平衡狀態，平移其受到的各個力的矢量，可組成封閉的多邊形(如圖4所示).從這個矢量圖可以看出：由于其重力與mbg與連接a和b繩上的張力FT=mag一定，當拉力較小時(如圖中的F)，桌面對b的支持力FN與靜摩擦力Ff如圖中實線所示；當拉力較大時(如圖中的F′)，桌面對b的支持力FN與靜摩擦力Ff如圖中虛線所示，問題的正確答案就很明了.

點評 在以上的兩種解法中，解法1是一般容易相到的通過建立函數關系式來進行分析，但要考慮到物塊b受桌面的靜摩擦力Ff的方向可能發生變化，并在函數關系式中正確表達出來，需在有一定的概括能力和數學表達能力；解法2根據物塊b的合力為零，畫出各力的矢量關系，在力F發生動態變化的過程中，FN與Ff的動態變化過程就很清晰明了.

四、圖象法

物理問題分析的關鍵是建立物理情景，而物理情景往往通過適當的圖象來描述.物理圖象是表現物理現象與規律的一種直觀手段，是數與形結合的產物，是具體與抽象相結合的體現.

例5 (2016江蘇9)如圖5所示，一只貓在桌邊猛地將桌布從魚缸下拉出，魚缸最終沒有滑出桌面．若魚缸、桌布、桌面兩兩之間的動摩擦因數均相等，則在上述過程中( ).

A．桌布對魚缸摩擦力的方向向左

B．魚缸在桌布上的滑動時間和在桌面上的相等

C．若貓增大拉力，魚缸受到的摩擦力將增大

D．若貓減小拉力，魚缸有可能滑出桌面

解析 設魚缸質量為m，魚缸與桌布、桌面間的動摩擦因數均為μ，魚缸在桌布上滑動過程中所受到的滑動摩擦力大小為Ff=μmg一定，方向水平向右；加速度大小a=Ff/m=μg，歷時t0魚缸滑離桌布時有最大速度v0=at0；魚缸在桌面上滑動做勻減速運動的加速度大小也為a=μg，故在桌面上運動的時間t=v0/a=t0；在同一坐標系中分別作出桌布與魚缸的v-t圖象(如圖6所示)，由于魚缸相對桌布滑動的距離x(圖6中陰影部分)一定，魚缸與桌邊的距離s0一定，若貓減小拉力，桌布的加速度減小，其v-t圖線如圖中的虛線所示，魚缸脫離桌的時間會變長，會導致魚缸在桌面上停止運動時的距離變大，則魚缸有可能滑出桌面.綜上所述，本題正確選項為BD.

點評 本題分析的難點是對選項D的判斷.要認識到魚缸質量m、魚缸與桌布、桌面間的動摩擦因數μ、魚缸相對桌布滑動的距離x、魚缸與桌邊的距離s0等都是一定的.一般我們可以通過牛頓運動定律和勻變速運動的相關規律，導出魚缸在整個運動過程中的距離s與貓對桌布的拉力F的函數關系式，當貓的拉力F減小時得出s的變化，從而對問題作出判斷，但這種方法較為復雜.以上求解過程中通過作v-t圖象進行分析，問題的答案就直觀明了.

五、解析法

用解析法研究問題時，需要把問題化整為零，然后逐步引向待求量.解析法是一種重要的邏輯推理思維，它往往通過建立適當的數學函數關系式對物理狀態、物理過程進行合理的推斷分析，推測在物理問題發展過程中可能出現某特殊情況，從而對物理模型有正確的理解，對物理情景有全面的認識，對研究的結果、得出的結論有正確的判斷.

例6 (2016四川)如圖7所示，電阻不計，間距為L的光滑平行金屬導軌水平放置于磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中，導軌左端接一定值電阻R.質量為m、電阻為r的金屬棒MN置于導軌上，受到垂直于金屬棒的水平外力F的作用由靜止開始運動，外力F與金屬棒速度v的關系是F=F0+kv(F0、k是常量)，金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好.金屬棒中感應電流為i，受到的安培力大小為FA，電阻R兩端的電壓為UR，感應電流的功率為P，它們隨時間t變化圖像可能正確的有( ).

綜上所述，本題正確選項為BC.

點評 本題中作用在金屬棒上的外力F是隨速度v變化的變力，而棒受到的安培力FA也是與v有關的變力，關于棒在這兩個變力作用下運動性質的分析，是本題分析的一個難點，但本題要求對四個物理量隨時間的變化關系圖象的可能性作出判斷，在以上解求過程中采取了定性分析與定量研究相結合的方法，通過解析法導出相關的函數關系式來作出判斷，其中的關鍵點是要對表達式F=F0+kv中k的取值與題給其它條件進行分類討論.

六、函數法

函數關系式是定量描述物理量變化關系的一種重要手段.物體解題中常通過函數形式討論兩個變量之間的關系，由函數關系式求物理極值等.

例7 (2016上海)如圖8所示，一關于y軸對稱的導體軌道位于水平面內，磁感應強度為B的勻強磁場與平面垂直.一足夠長，質量為m的直導體棒沿x軸方向置于軌道上，在外力F作用下從原點由靜止開始沿y軸正方向做加速度為a的勻速加速直線運動，運動時棒與x軸始終平行.棒單位長度的電阻ρ，與電阻不計的軌道接觸良好，運動中產生的熱功率隨棒位置的變化規律為P=ky3/2(SI).求：

(1)導體軌道的軌道方程y=f(x)；

(2)棒在運動過程中受到的安培力FA隨y的變化關系；

(3)棒從y=0運動到y=L過程中外力F的功.

點評 本題主要通過函數形式表達物理間的變化關系.導出物理量間的函數關系式時，要結合相應的物理規律，理解函數關系式的物理意義.

七、三角函數

物理量間的關系有時可通過三角函數進行表達，這時在對物理量進行運算時就會涉及到三角函數的運算.

例8 (2016江蘇卷第14題)如圖9所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上.滑輪左側的細線水平，右側的細線與斜面平行.A、B的質量均為m．撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運動.不計一切摩擦，重力加速度為g.求：

(1)A固定不動時，A對B支持力的大小N0；

(2)A滑動的位移為x時，B的位移大小s；

(3)A滑動的位移為x時的速度大小vA.

解析 (1)A不動時，A對B支持力大小N=mgcosα.

(2)A的位移為x，方向水平向左；B的位移為s，方向斜面向左下方；B相對A的位移為xBA，其大小xBA=x，方向沿斜面向下，有矢量關系式s=x+xBA.作出矢量x、s、xBA的關系圖(如圖10所示).設B的水平位移大小為sx，豎直位移大小為sy.

則由圖中的幾何關系得：sx=x(1-cosα)，sy=xsinα，且s2=sx2+sy2；

或由于矢量x、s、xBA的關系圖是一個等腰三個形，由三角函數得：

評析 本題三個問題都涉及到了三角函數的運算.求解的關鍵是對力、位移、速度、加速度等矢量進行合成與分解，通過矢量的運算法則作出相關的矢量圖形，這些矢量圖形的畫出，是利用三角函數表達物理量間關系及運算的基礎.

八、不等式

利用不等式可以表達物理量的取值范圍和物理過程進行的條件.求解不等式還可以求物理極值問題.

(1)求勻強磁場的磁感應強度B的大小；

(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求釋放小球A的時刻tA；

小球A的釋放時刻tA滿足：tA+t3=t1+t2；

由圖14中幾何關系有：H-y=[hcotα- (s-x2)]tanα，

要使小球P落在斜面上，應有：2l≤x2≤4l， 可得：

評析 本題是一道關于帶電小球在復合場中運動的綜合問題，情景與過程的分析根據物理事件發生、發展的先后順序，采取了程序分析法.第(3)問求解的難點是對相關隱含條件的尋找.以上求解中通過觀察題目給出的圖形，把“要使小球P落在斜面上”的隱含條件用不等式2l≤x2≤4l進行表達，通過對此不等式的求解，得出場強E的極值，使解題難點得到突破.

九、數列法

當一組不同的物理量有著類似的變化規律時，可通過數列的形式對這組物理量進行表達.通過結合數列的相關運算，實現對物理問題的分析與求解.

例10 (2015天津)現代科學儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運動.在真空中存在著如圖15所示的多層緊密相鄰的勻強電場和勻強磁場，電場和磁場的寬度均為d.電場強度為E，方向水平向右；磁感應強度為B，方向垂直紙面向里.電場、磁場的邊界互相平行且與電場方向垂直，一個質量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場左側邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場、磁場中運動，不計粒子重力及運動時的電磁輻射.

(1)求粒子在第2層磁場中運動時速度v2的大小與軌跡半徑r2；

(2)粒子從第n層磁場右側邊界穿出時，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn；

(3)若粒子恰好不能從第n層磁場右側邊界穿出，試問在其他條件不變的情況下，也進入第n層磁場，但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場右側邊界，請簡要推理說明之.

由圖16可以得出：rnsinθn-rnsinαn=d；

由以上公式可得：rnsinθn-rn-1sinθn-1=d；

由上式看出：r1sinθ1、r2sinθ2、…、rnsinθn組成一公差為d等數列，則有：

rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d，

當n=1時，由圖17看出：r1sinθ1=d，

(3)若粒子恰好不能從第n層磁場右側邊界穿出，則θn=π/2，sinθn=1，

點評 本題中帶電粒子通過一層層的加速電場與偏轉磁場，在磁場中運動軌跡半徑r、速度的偏角θ有著類似的變化規律.通過運用相關的物理規律得出粒子在每層磁場中運動時rnsinθn組成一公差為d等數列，由數列的知識得出sinθn的值，這是突破問題求解的關鍵.

十、數學歸納法

當一組物理量有著相同的變化規律時，我們可通過運用不完全數學歸納法得到這組物理量變化的通式，從而推具有普遍意義的一般性結論.

例11 (2015江蘇)一臺質譜儀的工作原理如圖18所示，電荷量均為 +q、質量不同的離子飄入電壓為U0的加速電場，其初速度幾乎為零，這些離子經過加速后通過狹縫O沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場，最后打在底片上，已知放置底片區域已知放置底片的區域MN=L，且OM=L.某次測量發現MN中左側2/3區域MQ損壞，檢測不到離子，但右側1/3區域QN仍能正常檢測到離子. 在適當調節加速電壓后，原本打在MQ的離子即可在QN檢測到.

(1)求原本打在MN中點P的離子質量m；

(2)為使原本打在P的離子能打在QN區域，求加速電壓U的調節范圍；

(3)為了在QN區域將原本打在MQ區域的所有離子檢測完整，求需要調節U的最少次數.(取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699)

點評 歸納法從個別的物理現象或特殊的物理過程出發，通過推理得出具有普遍意義的結合或規律.本題通過運用數學歸納法得出第n次調節電壓時，粒子在磁場中運動的軌跡半徑rnr的通式，為問題最終求解打下了基礎.

伽利略說過：“大自然這本書是用數學語言寫的.”物理問題的分析與求解離不開數學方法的應用.應用數學知識處理物理問題的能力是高考物理能力要求之一，高考物理解題中除了本文以上所述的的數學方法外，還用放縮法、估算法、近似法、微元法等.

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1008-0333(2017)13-0058-05