泰勒公式的證明及其應用

王修曲阜師范大學數學科學學院

泰勒公式的證明及其應用

王修
曲阜師范大學數學科學學院

泰勒公式是高數里面逼近極限的一個非常重要的公式，它可以說是對拉格朗日中值公式的一個推廣。一般來說教材里面會采用柯西中值定理來證明此公式，本文沒有寫這種方式而添加了另一種種證明形式。并就其在求特殊的極限，不等式證明，研究方程根的存在性和唯一性等方面做了一些介紹，方便讀者加深對泰勒公式的理解。

函數；泰勒公式；應用；證明；展開多項式

1 泰勒公式的簡單介紹及證明方式

1.1 泰勒公式的簡介

因為低次多項式不能很精確的表達函數，和作近似計算，所以遇到一些要求精確度高而且需要估算誤差的情況時，就必須使用高次多項式來近似表達函數，同時給出相應的誤差公式。泰勒公式是數學分析里面一個重要的部分方程，因此在數學里面有很高的地位[1]。

1.2 采用積分法對泰勒公式進行證明

采用完全歸納法不僅可以很巧妙地證明泰勒公式，思路還比較清晰，對于任何函數f（x）而言，只要其在a點存在能直到n階為止的導數，那么我在a點附近的f（x）就可以公式表達。所以若n等于一，定理必然成立[2]。此時公式將變化為f（a+h）=f（a）+h+o（h），所以a點附近的f（x）也可如下公式進行表示。所以此時,我只需要證明定理對于n也成立就可以了。為了證明這個式子對n也是成立的,只需要證明上文所提到公式成立即可，這樣一來用洛必達法則也可以證得。

2 泰勒公式的應用

在在我們日常的數學分析中，我們主要學習了應用泰勒公式在函數的指定地點展開并運用近似計算方法，所以我將使用泰勒公式在極限運算、不等式的證明、估計和函數方程具體應用、中值公式的證明級數與一些積分的斂散性判斷、確定無窮小量的階[3]。

在使用泰勒公式的時候，應當注意選擇恰當的展開形式。對于近似計算的問題，一般使用拉格朗日余項。如果涉及了極限方面的問題，一般我會使用皮亞諾余項。所以根據具體的問題還需要對其項數進行適當的正確的取舍。我下面將舉例說明泰勒公式在幾個方面的具體應用的步驟。希望讀者在我寫的這些例題上面可以加深對泰勒公式的理解，泰勒公式并不是按課本的那樣死板的應用，應當適當的調換項數與形式來適應需求。

2.1 計算近似值

解題技巧：此時的誤差非常的小，雖然此道題目可以用微分法作近似計算，但是因為公式比我現在用的少了一項，所以，精確度上面就稍微的不夠好，因此，在計算近似值的時候。用泰勒公式是可以把精確度，控制的非常好。我們利用泰勒公式求極限的時候，一般還會使用麥克勞林公式。當極限為分式的時候我們一般要求將分子分母站成同一階的麥克勞林公式。這樣通過比較，就可以很容易地，求出極限。得出我們想要的結果。

2.2 用泰勒公式證明等式

由泰勒公式令f（x）=e^x,則用泰勒公式展開以后的形式，用下面那一式剛好多一項的減去上面那一式少的，此時令x=1可以得到：

解題技巧：當我們寫這方面的證明題的時候，需要靈活運用，泰勒公式多項之間的關系，一般來說，列出兩不同項數的泰勒公式，然后給出適當的未知量的值，經過上下相減利用極限方面的知識和簡單的變換技巧，這個技巧一般來說是根據題目想給你證什么，你就怎么把它怎么給結合起來，一般來說泰勒公式證明等式方面的題目就是這樣。[4]同理，當函數的級數的通項式子包含不同類型和形式的函數式子時，常利用泰勒公式將他們轉化為統一的形式，再利用收斂法判斷題目。

2.3 用泰勒公式研究方程根的唯一存在性

例3.設函數f（x）在[a,正無窮）上二階可導，并且f（x）大于0，函數的一階導數小于0，對于所有x不小于a的數，函數的二階導數也都不大于0，證明f（x）=0在x不小于a的范圍存在唯一實根。

證明：因為函數的二階導數不大于0，所以函數的一階導數在x大于a的范圍上單調遞減，又因為函數的一階導數不大于0，所以函數在x大于a的范圍上單調遞減，又因為f（a）是大于0，若要證明f（x）在a大于0的范圍有唯一值存在，所以只需要證b大于0即可，所以由泰勒公式由題意二階函數小于0，所以一定存在b。使得b大于a，所以可以得到函數在x大于a的范圍上必定存在唯一實根，結論可以證明[5]。

解題技巧：泰勒公式利用其在一點可以展開為多項式的能力可以解答不少抽象函數根的存在性的問題，這是可以好好利用的地方。

3 總結

綜上所述，在本文中我們通過對泰勒公式中值定理另一種有別高數課本的證明，分析以及多道相應的例題的應用中，使用泰勒定理的過程中可以讓讀者對以上題型有了一種有力的解題思路，這樣更有助于理解。泰勒公式是一個n次多項式來逼近函數f（x）,而多項式的簡單形式更有助于計算，所以泰勒公式為處理函數的若干問題提供了簡單而十分有效的解題技巧。在這方面進行了靈活和簡單的證明的顯示。這樣有助于高數學習的讀者對泰勒公式的理解和靈活的應用，這樣更能靈敏的看待多種題目。

[1]潘勁松.泰勒公式的證明及應用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版）,2010,10（2）：16-21.

[2]李濤.泰勒公式及其應用[J].新課程：教研版,2013（1）：184-185.

[3]范錦芳.泰勒公式的應用與技巧[J].大學數學,1993（1）：70-74.

[4]洪子勇.有關泰勒公式的證明及其推廣應用研究[J].消費電子,2013（4）：166-167.

[5]余家驊.泰勒公式的證明及其應用推廣[J].科技風,2008（3）：51-52.

王修（1995-），男，山東省日照市人，漢，曲阜師范大學本科生，金融數學專業。