曲徑通幽處，柳暗花明時

韓洪福

摘要：“幽”在曲徑中，“美”源于回轉(zhuǎn)之間。回轉(zhuǎn)即理性的回歸，凸顯以小見大、以微見卓，去領(lǐng)略“退”的真諦與哲理。在知識的最近發(fā)展區(qū)，預(yù)設(shè)與生成之間，可管窺學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，找準(zhǔn)教與學(xué)的切合點。品味“曲徑通幽”帶來的生命價值及治學(xué)態(tài)度。

關(guān)鍵詞：最近發(fā)展區(qū)；思維進(jìn)階；退化；搭建；歸邊

在新課改理念指導(dǎo)下，教師是教學(xué)活動的組織與引領(lǐng)者，是課堂活動的參與者、起主導(dǎo)作用。要不惜時，不惜力引導(dǎo)學(xué)生去探求，去認(rèn)知發(fā)現(xiàn)，走知識發(fā)現(xiàn)之路，完成概念生成的建構(gòu)，達(dá)到生活與知識無縫鏈接。以二項式定理生成的教學(xué)案例，談?wù)剛€人認(rèn)識與感悟。

一、問題的提出

師：大家知道 （a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

推而廣之，請大家說說這一特征一般性問題？

生：（a+b）n的展開式并且n為正整數(shù)。

【感悟】：等式左右特征、項系數(shù)特征是二項式定理生成的生長點，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)預(yù)設(shè)，激活學(xué)生的思緒，去探求建構(gòu)一般性問題的生成。充分彰顯教師的主導(dǎo)，學(xué)生的主體地位，搭建探究課堂的平臺。

二、問題的探究

師：如何解決？請大家談?wù)勛约旱脑O(shè)想。

：分別計算出n=4，5，6的展開式，觀察規(guī)律。由等差數(shù)列的通項公式發(fā)現(xiàn)過程一樣，去猜測（a+b）n的展開式，再給出證明。

師：想法很自然也很好，特殊到一般，觀察發(fā)現(xiàn)法，就按照這種想法，我們不訪試一試。（學(xué)生表現(xiàn)很自信，有不服輸?shù)母杏X）

生眾：（a+b）4=（a+b）（a+b）3=（a+b）（a3+3a2b+3ab2+b3）

=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=（a+b）（a+b）4=（a+b）（a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4）

=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

（a+b）6=（a+b）（a+b）5=（a+b）（a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5）

=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

似乎找到其“感覺”，但對這個具體的代數(shù)式“n”，感到力不從心，不知安放在哪為恰當(dāng)。有只可意會，不可言傳之感！

師：大家猜測出展開式了嗎？

：還沒有完全猜出，但我只觀察猜想到右邊的項數(shù)是n+1項，各項次數(shù)均為n。

：補(bǔ)充道系數(shù)有對稱性，字母a，b次數(shù)有升降關(guān)系。

：我與以上的兩位同學(xué)有認(rèn)同感，但系數(shù)具體為多少，還有點懵，不太具體。

師：很好！雖然沒完全解決，基本有解決問題的雛形了，排除萬難，知難而上。如何排除字母“n”的干擾。

三、抽絲剝繭、問題的解決

師：對“系數(shù)”分析，將n=2，3，4，5，6的系數(shù)抽取隔離出來，排成排排看看。你有什么發(fā)現(xiàn)？相互討論討論！ ...............（10分鐘后）

請第一組同學(xué)派一個代表到展示臺展示，并為組內(nèi)同學(xué)討論結(jié)果作解釋：呈三角形分布，兩端的系數(shù)均為1（即首尾系數(shù)為1）

第二組展示結(jié)果：除首末兩數(shù)外，任一系數(shù)都是上方兩個數(shù)的和。

師：不錯。板書同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的成果

并對這一發(fā)現(xiàn)作補(bǔ)充詳盡介紹，引領(lǐng)學(xué)生穿越文化經(jīng)典，感受祖國瑰麗文化之寶。

【感悟】：雖然有了一些小發(fā)現(xiàn)，小成就，作了基礎(chǔ)性的定性分析及定量計算。但系數(shù)本身的生成還未達(dá)到，憑借系數(shù)上下特征也僅僅是停留在猜想層面。學(xué)生因“疑”而起，引領(lǐng)攻克最為困難的一步“系數(shù)”生成規(guī)律。

四、攻堅苦難，理性回歸

師：生成的系數(shù)是n的什么表達(dá)式呢？

學(xué)生看了看楊輝三角圖，還是很茫然。（上下是有規(guī)律？）

師：要回答是什么？怎么樣，請回看n=2，3，4，5，6系數(shù)的生成。我們追本溯源，返璞歸真。

生：利用多項式相乘，再合并同類項得到。

師：很好！退回到多項式相乘，合并同類項。我們還可以“退回”到剛學(xué)過的計數(shù)原理上去。

師：板書n=3時情形

（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）（1）

=………………

=a3+3a2b+3ab2+b3（2）

師：由（1）（2）兩式發(fā)現(xiàn)各項字母生成規(guī)律（各個字母的來源探求）

生：a2b由兩個a和一個b分別來自于三個不同的括號，其中兩個括號選a，一個選b。

師：系數(shù)規(guī)律呢？

生：用組合數(shù)表示的3=C23·C11 （分兩步，第一步選a，第二步選b）。

【感悟】：以支解分化的辦法來分散難點，用整合方式達(dá)到無蓬連接、分分合合，才是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之美。

師：很不錯！同學(xué)們學(xué)會用元素、位置分析法解決實際問題。

1、從選a入手，三個括號中選2個a有C23種選法。

2、剩下只能選b，只有一種情況

再由乘法原理，系數(shù)生成為 C23·C11 。

【感悟】：攻克最為困難的一步是系數(shù)的生成規(guī)律的探求，無論是以a入手，還是以b入手，都要明確一個人圍標(biāo)準(zhǔn)，在新課標(biāo)下，更注重歸納與類比的推理，驀然回首，所用攻克工具在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)。

五、理解內(nèi)化，深化拔高

師：通過前面的探求發(fā)現(xiàn)，能否得到更為一般性的結(jié)論呢？如何得到？

生：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n∈N）

（教師板書，二項式定理）

師：結(jié)論一定正確嗎？（學(xué)生質(zhì)疑，面面相覷）

生戊：正確。但要證明。

生已：正確。不需要證明，只又覺得歸納猜想的結(jié)論不一定正確，不太全面。

師：請學(xué)生戊談?wù)勛C明構(gòu)想。

生戊：（板書）

由此可看出n個（a+b）括號中都要取出a或b，只有把n個括號取滿后，才能得到展開式中的一項，才算完成一件事。由分步原理共有個不同的項，其中每一項都是an-knbk （k = 0，1，2，…，n）的形式，由合并同類項所得，接下來思路中斷！

數(shù)學(xué)科代表又補(bǔ)充道：

對具體的某字母k而言，對應(yīng)的項為an-knbk，可以這樣理解，有n個括號，指定k個括號選填b，這樣的填法有Ckn種，自然余下的（n-k）個括號就只能選a了，故（a+b）n的展開式中，an-knbk（k = 0，1，2，…，n）共有Ckn個（k=0，1，2，…，n）一合并同類項就可得到 （a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn （n∈N）

師：以上思路流程經(jīng)歷“特殊-猜想-證明”，是后結(jié)合取括號用“說理”的方式證明的，這并不是唯一的方法，今后有待學(xué)習(xí)。

師：大家如何分析該形式的結(jié)構(gòu)及系數(shù)的特征？并說明理由。

（學(xué)生經(jīng)過自主探求，組內(nèi)討論，全班交流，找出展開式的通項進(jìn)行解讀，鞏固發(fā)現(xiàn)）

Tk + 1 = Cknan-kbk （k = 0，1，2，…，n），共有n+1項

師：理由呢？

生辛：回歸到取括號，從n個括號中選k個括號填b，余下（n-k）個括號只能填a，這樣的填法有Ckn種，各項為Cknan-kbk，其中Ckn是與a、b無關(guān)，僅與n有關(guān)的組合數(shù)。

師：很好！

還探明了組合Ckn （0≤k≤n）有n+1個，把這個組合數(shù)叫做二項式系數(shù)，探求還在進(jìn)行…………！

一路走來，時而駐足看看，時而驀然回首間，真可謂風(fēng)光無限，人在畫中游，余味未盡。時間在流逝，內(nèi)心很糾結(jié)………！

【感悟】：本堂課以彰顯課改理念，追求個性化的教學(xué)思想為指導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計，（以學(xué)生活動，能發(fā)現(xiàn)，善發(fā)現(xiàn)，會總結(jié)為流程設(shè)計）不是送真理，而是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、探求真理。采用層次分析、目標(biāo)分析、逐層探究。學(xué)生參與活動為主，借助生活體驗讓學(xué)生親力親為得出結(jié)論或規(guī)律，整個過程交由學(xué)生主宰。突破“系數(shù)生成”這一難題，體驗從特殊到一般，具體到抽象。追本溯源、以退為進(jìn)、迂回曲徑的研究策略，為學(xué)生搭建積極主動，自主建構(gòu)探究的平臺。學(xué)會觀察、歸納、反思，邏輯推理及敘說能力。對提出問題、分析問題、解決問題、評價問題起到引領(lǐng)、訓(xùn)練作用，加強(qiáng)了情感體驗以達(dá)思維進(jìn)階之效。蓬門為君開，只等君來采！

參考文獻(xiàn)：

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