圓中的“知二求一法”

何梅

摘要：在運用垂徑定理時，添加輔助線的目的是構造直角三角形，該直角三角形的三條邊分別是：半徑，弦心距和弦，而在直角三角形中，已知任意兩條邊長可以求出第三邊，也就是說對于圓中的直徑、弦長、弦心距和弓形的高四個量來說，已知任意兩個量都可以求出其余的量。

關鍵詞：垂直于弦的直徑；半徑；弦；弦心距；弓形的高；直角三角形；勾股定理

垂徑定理不僅是證明線段相等、角相等、弧相等的重要依據，而且還為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據，我們在學習這部分知識時，要注意理解垂徑定理的理論基礎：教材中通過對一張圓形紙片沿著一條直徑對折，直徑兩側的兩個半圓能夠完全重合這一事實，指出：“圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸”，然后利用圓的軸對稱性探究得出了垂徑定理，因此，圓的軸對稱性是垂徑定理的理論依據。由垂徑定理的得出，使學生的認識從感性到理性，從具體到抽象，有助于培養學生思維的嚴謹性，通過對垂徑定理的教學，對學生滲透類比，轉化，數形結合，方程，建模等數學思想和方法，培養學生實驗，觀察，猜想，抽象，概括，推理等邏輯思維能力和識圖能力。

垂徑定理在具體運用中具有一定的靈活性。對于在垂徑定理這類題中為什么添加“半徑”這條輔助線的引導應該非常具體，應該做到讓學生“不僅知其然，還要知其所以然”。如：一些問題的圖形或條件中沒有出現“垂直于弦的直徑”，而是出現“垂直于弦的半徑或圓心到弦的距離”，此時也可以利用垂徑定理。在解決圓中有關弦、弧等問題時，若沒有給出“垂直于弦的直徑或半徑、圓心到弦的距離”，通常是過圓心作弦的垂線段或直徑、半徑，構造出利用垂徑定理的條件。

垂徑定理告訴我們：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條弧。如圖1

∵ AB是直徑， AB⊥CD

∴CM=DM，AC⌒=AD⌒ =，BC⌒=BD⌒

該定理中出現了以下四個量：直徑AB、弦長CD、弦心距OM和弓形的高AM。在用垂徑定理解決圓中的計算問題時，其實大部分都是圍繞這四個量展開的，而這四個量之間又有如下關系：弦心距與弓形的高的和等于半徑，直徑的二分之一是半徑，若直徑垂直于弦，則垂足是弦的中點，連接圓心和弦的一個端點，就會出現直角三角形，而在直角三角形中，已知任意兩條邊長，可以求出第三邊，所以只要已知上述四個量中的任意兩個量一定能求出其余的量，我把它歸納為圓中的“知二求一法”。此時需要把垂徑定理和勾股定理有機結合起來計算弦長、半徑、弦心距、弓形的高等問題，這就需要構造直角三角形（注意該直角三角形一定是由半徑，弦心距和弦構成的），在教學中，一定要教會學生如何添加輔助線，（1）如果見到弦心距和弦，那么直接連接半徑就構成直角三角形（如例1）；（2）如果就知道一條弦長的題目，就要把半徑和弦心距都做出來，構造直角三角形（如例2）；（3）如果只知道弓形的高和弦長，就要把弓形的高延長至圓心，再連接半徑構造直角三角形（如例3），下面我以幾道例題來展示以上圓中的“知二求一法”：

例1：如圖1，已知在⊙O中，弦CD的長為8厘米，圓心O到CD的距離為3厘米，求⊙O的半徑。

思路分析：這是已知弦長和弦心距求圓的半徑問題。

解：連結OC。過O作OM⊥CD，垂足為M，由垂徑定理，得點M是CD的中點，

則CM=BM=0.5CD=4，在Rt⊿COM中，根據勾股定理有OC=5厘米 ∴⊙O的半徑為5厘米。

這是已知弦長和弦心距求圓的半徑問題。

例2：如圖1所示，是一條水平鋪設的直徑為2米的通水管道橫截面，其水面高寬為1.6米，求這條管道中水的最大深度是多少？

思路分析：審題后首先要讓學生明確該“管道中水的最大深度”的含義，其實轉化為數學語言就是指“弓形的高”，那么這道題就是已知半徑和弦長求弓形的高的問題。

解：如圖，最大深度即為AM的長度，設圓心為O，作OM⊥CD于點M，交⊙O于點A，由垂徑定理，得CM=0.5CD=0.8（米）。在Rt⊿COM中，由勾股定理，得OM= 12-0.82=0.6（米）。以AM=OA-OM=1-0.6=0.4（米）。

這是已知弦長和直徑求弓形的高的問題。

掌握了以上例題的解題思路，大家對圓中的“知二求一法”應該有了更深刻的認識，可以說，掌握了該方法，你就可以游刃有余的運用垂徑定理了。