例談作垂線段在三角形問題中的應用

吳碧奕

八年級（浙教版）上冊幾何部分的重點內容是三角形，而作垂線段的方法在解決與三角形有關的問題時發揮了重要作用，下面就作垂線段在與三角形有關的證明和計算類問題中的應用作一些剖析，探討作垂線段的問題背景和問題思路。

一、證明題中作垂線段的方法

例1如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點P是AC邊上一點，在BC邊上取一點D，使PB=PD，過點D作DE ⊥AC于點E，請求出線段PE與AC的數量關系，并說明理由。

分析：從圖形上觀察可以猜想PE =AC，而AC又是等腰直角三角形的斜邊，與等腰三角形斜邊有一半關系的就是斜邊上的中線，由于∠PED=90°，為了便于證明全等，故而自然想到過點B作BF⊥AC，利用BF=PE證明PE =AC。

解：PE=12AC

證明如下：

作BF⊥AC（如圖2），

∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=AF=BF=AC，∠C=∠FBC =45°。

∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∵∠PBD=∠2+∠FBC=∠2+45°

∠PDB=∠1+∠C=∠1+45°，

∴∠1=∠2。又∵∠PFB=∠DEP=90°，

∴△PFB≌△DEP（AAS）， ∴PE=BF=12AC。

點評：三角形中有許多定理是通過作垂線段證明兩條線段相等，如等腰三角形中的三線合一定理，角平分線上點到角兩端的距離相等，等等。在相應的背景下，只需作出垂線即有兩條相等線段，這些相等線段可以是題目所求證的線段，也可以作為中間量轉化為其他需要證明的線段。而本題中，首先問題背景是等腰直角三角形，其次，求的線段PE也在一個直角三角形中，這兩個都是作垂線段作為輔助線的暗示條件，于是線段BF這條輔助線也就順理成章了。

二、計算題中作垂線段的方法

1.利用作垂線段分割或補全圖形求三角形面積 例2如圖3，已知平面直角坐標系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），求△ABC的面積。

分析：從圖3中可以看到△ABC斜放在直角坐標系中，而且從圖形上看也不是直角三角形，所以不論以哪條邊為底，求相應對的高都很復雜，甚至無從下手.此時，可聯系不規則圖形的算.法，采用割補法，先用作垂線段的方法將△ABC補全成長方形，再減去三個三角形就得△ABC的面積，而三個三角形都是直角三角形非常容易求面積。

解：作CD⊥x軸，CE⊥y軸，如圖4，

∵C（4，3），∴CE=4，CD=3

∵A（0，1），B（2，0） ∴OA=1，OB=2

∴S△ABC=3×4-S△AOB-S△BCD-S△ACE=4

點評：平面直角坐標系中的三角形問題背景下，比如求三角形上某個點的坐標，或者求圖形的面積等，這兩個也是作垂線段作為輔助線的暗示條件，或分割，或補全，或尋找直角三角形進行計算，之后就能有清晰的解題思路了.

2.作垂線段，通過直角三角形的邊角關系計算 例3如圖5，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，以BC為邊向上面作等邊△BCD，

BD與AC交于點E，取CD的中點F，連接BF交AC于點G.

（1）求證：△ABE≌△CBG； （2）若BG=2，求DE的長.

分析：本題有兩小題，第一小題證明全等是為第二小題通過求BD，BE再求DE而服務的，而全等的條件也比較明顯，此處不詳述.第二小題已知BG求DE，乍一看是沒有任何聯系的兩條線段，細想之下，DE是線段BD的一部分，而BE=BG=2，所以問題就轉化為求線段BD，而與BD相等的線段BC與BG在同一個△BCG中，仔細思考這個三角形的特征，它有兩個特殊角∠GBC=30°，∠GCB=45°，于是可以過點G作垂線段GH，利用直角三角形中特殊角對應邊的數量關系解決這個問題.

解：（2）作GH⊥BC，如圖6，Rt△BGH中，∵∠GBC=30°，

∴GH=12BG=1，∵∠GCB=45°，

∴等腰Rt△CGH中 CH=GH=1，

∴BC=1+3， ∵△BCD是等邊三角形

∴BD=BC=1+3，∴DE=BD-BE=1+3-2=3-1.

點評：本題作垂線段比較巧妙，△BCG并不是特殊三角形，不能直接求線段BC的長，只有直角三角形中利用特殊角的邊角關系或者勾股定理才能求邊長，所以在特殊角30°，45°的提示下，作垂線段GH就勢在必行了。不過這不是唯一的垂線段作法，經過第（1）小題的三角形全等證明了BG=BE=2，這兩條線段所在的△BGC，△ABG，△ABE中都有30°，45°或60°這樣的特殊角，所以這三個三角形中都可以利用作垂線段求AB或BC的長，進而解決問題。因此，在有一條已知線段且有兩個特殊角的非直角三角形中，都可以通過作垂線段求邊長。

綜上，可以看到，凡是需要作垂線段作為輔助線的題目都在條件和結論中有所提示，比如等腰三角形中，或直角三角形中的特殊角，或圖形的面積，或點的坐標等，凡此種種，都可以通過作垂線段讓問題迎刃而解。