二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

謝銳升

【摘要】通過進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和理解二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖象的特點(diǎn)等知識，讓學(xué)生掌握函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù) 基本概念 基本性質(zhì)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）09-0095-01

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的函數(shù)之一，初中教材中，雖對二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，但初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，接受能力較差，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的。進(jìn)入高中以后，二次函數(shù)常與方程、不等式相聯(lián)系綜合地進(jìn)行考查，是高考重要的考點(diǎn)，因此要引導(dǎo)他們對二次函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)。

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來深入認(rèn)識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

例1：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）的解析式。

這里讓學(xué)生理解為求自變量為x+1時(shí)的函數(shù)值。把x+1看成原自變量x，考慮整體代入，求出解析式。

例2：設(shè)f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）的解析式。

這個(gè)問題理解為，已知對應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，

再用x代x+1得：f（x）=x2-6x+6

（2）變量代換法：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對一般函數(shù)都可適用。

令t=x+1，則x=t-1

∴f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6

從而f（x）=x2-6x+6

代換法是求復(fù)合函數(shù)解析式的常用方法。

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，]及[，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

例3：設(shè)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）。求：g（t）并畫出y=g（t）的圖象

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時(shí)取最小值-2

當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

當(dāng)t>1時(shí)，g（t）=f（t）=t2-2t-1

當(dāng)t<0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t2-2

解題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生弄清楚題意。一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

三、含二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

在高一數(shù)學(xué)必修一的基本函數(shù)中往往將兩個(gè)基本函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。我們將考慮函數(shù)的定義域，考慮u=g（x）與y=f（x）的單調(diào)性，從而求出y=f[g（x）]的單調(diào)性。

例4：求函數(shù)的遞減區(qū)間。

解：先求函數(shù)的定義域，由得，或x>3.令

由于對數(shù)的底數(shù)0.1<1，故已知函數(shù)是減函數(shù)，欲求它的遞減區(qū)間，只要求出函數(shù)的遞增區(qū)間，由于，可得<

的遞增區(qū)間為（3，+∞），從而可得的遞減區(qū)間為（3，+∞）。

判斷函數(shù)的增減性，或者求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可以畫出函數(shù)圖像求解。

四、二次函數(shù)與方程

結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。依照一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與二次函數(shù)ax2+bx+c=0（a≠0）的圖像間的關(guān)系的探討，推廣到一般函數(shù)，得到以下結(jié)論：

方程f（x）=0有實(shí)根函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有公共點(diǎn)函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)。

此等價(jià)關(guān)系揭示了方程、函數(shù)的圖像、函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。但它在具體的使用過程中還有下面的變形：

方程f（x）=g（x）有實(shí)根函數(shù)y=f（x）的圖像與y=g（x）圖像有公共點(diǎn)函數(shù)y=f（x）-g（x）有零點(diǎn)。

總之，二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文僅作小議，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。