順勢而為，讓數學探索更具魅力

李政

利用不完全歸納法探索新知，是小學數學課堂上常見的教學思維方式，如何基于或構成學理進行數學的深理解和真思維呢？筆者以為，教師在探索活動中基于學情和學理“順勢”而為，改善數學教育“生態”，是提升數學課程實施品質的必然選擇，也是學生持續學生好數學的根本保證。

一、順勢就是基于學情和學理展開數學探索

在一定意義上講，多數時候的數學學習活動都是具有探索性。然而，有不少的數學教師對“數學活動具有探索性”認識不夠，設計和實施的探索性活動也就簡化為先舉一個例子，然后再舉多個例子驗證，并流于形式，使得數學探索虛化、乏力，學生參與其中逐漸形成不良的學習感受。其實，數學探索過程是有“勢”可言的。

小學數學既是兒童的，也是數學的。在筆者看來，所謂的“勢”即學情的態勢和學理的趨勢。任何一個具有探索意義和價值的數學主題，對學生而言都不會是零基礎，零水平；對學科本身而言，也不會是零關聯、零發展、如果我們認識到這些“態勢”、“趨勢”的存在，并為已所用，那學生參與探索過程就能充滿愉悅和收獲。

例如，教材對規律、運算律、計算公式等知識習得的編排隱含或遵循不完全歸納法的思路，這是在是因為考慮到小學生的年齡還小和認知能力水平有限以及教材只能短篇幅地呈現主要內容的原因，但教師不應“只見樹木，不見森林”甚至眼里就只有一堆堆木材。我們需要基于學情和學理展開數學探索，杜絕“循規蹈矩”、“隔靴撓癢”甚至“逆流而動”的常見做法。

二、運用不完全歸納法順“勢”而為

獲得必要的數學理解和思維，是我們展開探索活動的真正目的所在，而不完全歸納法知識探索真知的一種方法、技術和手段。學生數學素養的積淀、能力水平的提升、思維方式的改善，需要依靠“勢”的可為和能為，“勢”的鍛造和滋養。

1.讓“不完全歸納法”搭配上深度的演繹

乘法分配律的教學，一直都是教學難點。它的生成過程，就是舉例驗證，舉更多例子不完全歸納的過程。如果能來些演繹的色彩，歸納的力量就更顯強大。

教材提供的教學思路是借助不完全歸納法“發現”它“是什么”，至于“為什么”卻懸而未決。乘法分配律的觀念實質是“c×（a+b）分成c個加a加c個b”和“c個a加c個b配成c×（a+b）”，這需要讓學生感知和理解。結合乘法與加法之間的轉換關系和算式的變形，讓學生體會“分”與“配”的思想，理解“為什么”，而后再自我反思全過程，獲得“為什么”的發現。具體流程如下：上述教學，學生只有經歷了發現層面的理解過程，把握了“分”與“配”的思想內涵，也就是學生對乘法分配律有了總體的直覺認識以后，形成“c×（a+b）分成c個a加c個b”和“c個a加c個b配成c×（a+b）”的觀念，他們才算真正理解了乘法分配律。從這個意義上講，深度演繹是對學生不完全歸納的點化和提升。

2.讓“不完全歸納法”有“根”可言

從四年級開始，教材各冊都設置了“找規律”單元，引導學生探尋現實生活中一些簡單的數學規律，并應用規律解決相關的實際問題。然而教師習慣于根據課本習題的類型分別展開教學，造成學生做“找（間隔排列）規律”題目時也往往是先判斷題目中物體排列類型封閉與否，如果是封閉圖形，兩種物體個數就相等；不封閉的還要看兩端物體是否相同，兩端相同則兩種物體個數就懸殊1，兩端不同則物體個數就相等。很明顯，到了學生那里，對知識的理解和應用是分裂、剝離的。

其實，我們可以把封閉圖形進行整合，以無規律排列的情況為起點，以“一一對應”為核心思想展開教學，主要分步實施和突破，這種教學改進，順著學科體系原理和學生思考狀態，較好地做到了以學定教，讓“不完全歸納法”有根基可言，擁有了來自土壤中根部的力量。

3.讓“不完全歸納法”富有魄力并重的內涵

大家一直以為，平行四邊形面積計算的教學簡單、淺顯，即使教學水平差一點兒的老師來教，也能不費吹灰之力讓學生探究出計算公式或理解接受。其實，兩個重要問題容易被忽視，并得不到解決，一是，為什么不可以用“底乘鄰邊”，常見教學思路中有的只是對“底乘高”的證明，而沒有對“底乘鄰邊”證偽（可能會有人講不證自偽）；二是，對二維空間矢量相乘意義的拓展理解的缺位（教材即使為了培養學生推理所需沒有安排，但我們完全可以在不完全歸納之后進行補充）。這兩個問題對學生有著重要的學習意義。

實際上，生活世界和數學世界所有兩個數量的相乘，都是二維空間矢量的相乘，都可以看成是“排數×排數=總數”的擴展和變化，“底×高”也不除外。針對學生認知基礎“出發”和“歸來”，考慮到“底”“高”這兩個維度對教學嘗試改進和整合。至此，借助不完全歸納法“涅槃”，發展了思維能力，拓寬了認知視角，“思想嫁接”也成功地在學生的直觀認知世界中“落巢”。

4.讓“不完全歸納法”享有進退自如的空間

學生在對三角形面積計算公式推導有了“求一個，想兩個”思想支撐的基礎上，腦中進行剪和拼，很容易推想出梯形面積計算公式。這使得改善數學教育的“生態”狀況成為可能，并且一切都顯得順理成章、水到渠成。

梯形面積計算公式的常見的教學思路是分兩個板塊進行的，一是讓每個學生照兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，同時做好數據收集和記錄。然后交流梯形與平行四邊形之間關系，推導出面積計算公式，還可以進而在不同剪法上做文章；二是盡可能地解決書后練習，甚至把兩課時的練習任務合并為一節課解決掉。

要談有問題，幾乎沒有。因為梯形相對特殊（有兩個底），學生即使不理解，也容易記住。更何況有前面學習三角形面積計算公式的優厚基礎。既然教師月學生都意識到這個問題，那就要充分滿足學生腦中剪、拼、推想和空間講一講平行四邊形、三角形與梯形之間的某種聯系呢？

突出學生的主體性需要，加強知識之間的搭建和聯結，具體改進流程如下：上述教學改進，學生自由地推想出梯形面積的計算公式，教師為其演示驗證，讓學生樂不吱聲，尤其是增設的環節，“三種圖形的轉換與公式的演變”直接叫學生大呼神奇不止，連連發出嘖嘖的驚嘆聲。此時數學教育的“生態”是平的，還是立的？是板化的，還是鮮活的？

筆者對“順‘勢而為，讓數學探索更具魅力”這一話題的持續關注與累積研究，只是為了一個樸素本真的想法，也就是希望自己能讓學生對待數學學習有一個號的學科感受，不艱深、難懂但有必要，不膚淺，容易但見深刻，好的數學學習感受應該就是這個樣兒。