2010—2016年江蘇高考數學分段函數問題大盤點

朱德存

摘 要：分段函數題型多樣，綜合性強，能有效考查函數的圖象和性質，可以有效考查數學中函數方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想和分類討論思想，因此分段函數倍受命題人青睞，是歷年江蘇高考中的熱點題型。為增強高考復習的針對性和有效性，本文對2010—2016年江蘇高考數學中出現的分段函數問題進行歸類分析。

關鍵詞：高考數學卷；分段函數題；盤點

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）23-121-1

一、分段函數求值問題

例 （2016江蘇高考第11題）設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間[-1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x<0|25-x|，0≤x<1 其中a∈R。若f（-52）=f（92），則f（5a）的值是 。

答案：-25。

解析：f（-52）=f（-12）=f（92）=f（12）-12+a=12-25a=35，

因此f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1+35=-25。

點評：（1）分段函數的考查方向注重對稱性、周期性，即必須明確不同的自變量所對應的函數解析式是什么，函數周期性質可以將未知區間上的自變量轉化到已知區間上。（2）解決分段函數求值問題要注意：分段函數是一個函數，不是幾個函數；分段函數要分段研究。關鍵在于“對號入座”：即看清待求函數值的自變量所在區域，再用分段函數的定義即可解決。另外要注意區間端點是否取到其所對應的函數值，尤其是分段函數結合點處的函數值。

二、分段函數根與零點問題

例 （2015江蘇高考第13題）已知函數f（x）=|lnx|，g（x）=0，01，則方程|f（x）+g（x）|=1的實根個數為 。

答案：4。

解析：由f（x）=-lnx，01，g（x）=0，02 得到：f（x）+g（x）=-lnx，02，由于

x∈（0，1]時，f（x）+g（x）單調遞減，且取值范圍在[0，+∞），故在該區域有1根；

x∈（1，2]時，f（x）+g（x）單調遞減，且取值范圍在[ln2-2，1），故該區域有1根；

x∈（2，+∞）時，f（x）+g（x）單調遞增，且取值范圍在（ln2-2，+∞），故該區域有2根。

綜上，|f（x）+g（x）|=1的實根個數為4。

點評：（1）考查由分段函數構成的方程根的存在性和根的個數。本題考查分類討論、數形結合的數學思想，是一道綜合題。（2）解決此類復雜的分段函數問題要明確這樣幾點：首先，可以看出構成分段函數的幾個區間上函數單調性需要分開單獨研究。其次，這幾個函數最終合在一起作為一個函數來看待。有關分段函數問題要處理好其中的“分”與“合”。

點評：（1）2015年江蘇高考數學可以看出命題人對分段函數與絕對值結合的問題的偏愛，去掉絕對值符號，其本質仍然是分段函數問題。另外，考查了化歸思想、分類討論思想和數形結合思想。（2）在解決與函數性質有關的問題中，需要對函數性質以及函數在不同區間上圖象特征要熟悉，結合函數的性質畫出函數的簡圖，根據簡圖進一步研究函數的性質，就可以把抽象問題變得直觀形象，復雜問題變得簡單明了，對問題的解決有很大的幫助。

三、分段函數與不等式問題

例 （2014江蘇高考第11題）已知f（x）是定義在R上的奇函數。當x>0時，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）>x的解集用區間表示為 。

答案：（-5，0）∪（5，+∞）

解析：做出f（x）=x2-4x（x>0）的圖象，如下圖所示。由于f（x）是定義在R上的奇函數，利用奇函數圖象關于原點對稱做出x<0的圖象，則f（x）=4x+x2，x≤0x2-4x，x>0。不等式f（x）>x，表示函數y=f（x）的圖象在y=x的上方，觀察圖象易得：解集為（-5，0）∪（5，+∞）。

點評：（1）通過以分段函數為載體考查了函數的奇偶性、單調性，不落俗套，命題新穎。（2）解決此類問題關鍵在于“分類”以及如何根據變量的范圍去運用對應的解析式，根據函數性質，作圖要特別注意定義域的限制及關鍵點（如端點、最值點）的準確性。

綜觀2010年至2016年江蘇高考數學，分段函數年年考，常考不衰。今后的高考復習中，我們仍然需關注分段函數，加強研究。