深入理解概念，完善認知結構，發展思維能力

林海

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）04-0126-01

美國教育心理學家布魯納曾指出："獲得的知識如果沒有完整的結構將它聯系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據在記憶中僅有短促的可憐的壽命"。在數學知識體系中，概念無處不在，概念是思維的細胞，是學習定理、公式、解題方法的基礎和前提。如果概念不清，思維就會混亂，計算和推理就會發生錯誤。因此深入理解概念至關重要，筆者在教學實踐中做了以下有益的嘗試。

1.挖掘教材，循序漸進，多角度認識

以人教A版《必修一》第一章函數的單調性為例，單調性作為高一學生系統地學習函數的第一個性質，因其具有高度的抽象性和概括性，對學生的思維要求較高。于是教材做了很好的編排，將新知的學習建立在學生的認知基礎之上進行，學生已學習過一些簡單的函數，并且知道函數有三種表示方法（圖象、表格、解析），且各有優勢。

（1）以熟悉的一次函數y=x、二次函數y=x2的圖象為例引入，學生看圖說話，能比較順利地看出圖象的變化趨勢即"上升"或下降。

（2）利用表格上的數值，觀察變量x、y之間的關系，即"隨著x的增大，相應的f（x）在增大（或減小）"。

（3）以上兩個步驟，均是通過觀察圖象和表格得到的，還不夠嚴密和準確，需要通過數學的符號語言來進行嚴格敘述。自然會聯系到解析式及變量x、y，x的增大自然要引入2個自變量x1

以上三步可以說是層層推進，把數學的三種語言（文字、圖形、符號）緊密的練習在一起，循序漸進。

（4）單調性語言的敘述：設函數f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1

概念的得出之后接下來就是對概念理解，尤其是概念本身關鍵詞的"咬文嚼字"，如"區間"，"任意"，"都有"，可以適當舉例說明才能便于學生理解。

2.咬文嚼字，正反辨析，內涵加外延

以人教A版《必修一》第三章函數的零點為例，函數零點存在性定理 ： 若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0則函數y=f（x）在（a，b）內有零點，即存在實數c∈（a，b），使f（c）=0。為便于概念本身的理解，我設計以下3個問題。

辨析1：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在（a，b）上是否有唯一零點？

辨析2：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，f（a）·f（b）>0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）有無零點？

辨析3：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在（a，b）內有零點。

引導學生咬文嚼字取理解關鍵詞的意思，也要求學生不僅僅要掌握符號語言，也要善于利用圖形語言去辨析認識概念。

3.精選例題，活學活用，提升思維

3.1 奇偶性。

例1.已知函數f（x）=x5+ax3+bx+c 3x+8（其中a、b、c是實常數），且f（-2）=10.求f（2）的值。

例2.已知函數f（x）=1+xx2+1的最大值為M，最小值為N，求M+N的值。

例3.求函數f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在區間[-6，6]的最大值和最小值。

以上三個例題都不在僅僅是奇偶函數，而是式子的局部具備奇偶（對稱性），需要學生對式子的特點和結構認真觀察，選取合適的方法，便能事半功倍，這也是奇偶性和對稱性的特定應用。

3.2 單調性。

例4.設x、y是實數，且滿足（x-1）3+2016（x-1）=-1（y-1）3+2016（y-1）=1

求x+y的值。

例5.已知函數f（x）=x3-log2（x2+1-x），試判斷f（a）+f（b）a3+b3的符號（其中a，b為任意的實數且a+b≠0）。

這兩個例子式子比較復雜，不太容易直接看出需要采用什么方法，但是認真觀察式子的結構特點，變不難想到要從單調性這一重要性質入手，所以學生見到函數，想到性質，這一意識非常重要，需要在平時的教學中不斷歸納總結。