離心率的幾何意義

陸建根??

摘 要：離心率是圓錐曲線的一個重要性質，橢圓和雙曲線的離心率用e=2c2a來定義，對橢圓來說，離心率反映橢圓的扁平程度，對雙曲線來說，離心率反映雙曲線漸近線的開口程度。根據圓錐曲線的第二定義，離心率e還可以統一表示為圓錐曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比。實際上，圓錐曲線的離心率除上述幾何意義外，還有很多其它的幾何意義，還有一些統一的幾何解釋。

關鍵詞：高中數學；離心率；幾何意義

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-116-2

性質1 過圓錐曲線：x2a2+y2b2=1，x2a2-y2b2=1，y2=2px通徑的端點P作傾斜角互補的弦PE、PF，則直線EF的斜率等于圓錐曲線的離心率或離心率的相反數。

證明：（1）橢圓x2a2+y2b2=1，不妨設P（c，b2a），設PE斜率k，則PF的斜率為-k，

由x2a2+y2b2=1y-b2a=k（x-c），得（k2a2+b2）x2+（2kab2-2k2a2c）x+a2（b2a-kc）2-a2b2=0，

xP+xE=-2kab2-2k2a2ck2a2+b2，而xP=c，

∴xE=-2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2，yE=kxE-kc+b2a，

將k換成-k得，∴xF=2kab2+k2a2c-b2ck2a2+b2，yF=-kxF+kc+b2a，

∴kEF=yE-yFxE-xF=k（xE+xF）-2kcxE-xF=k·2k2a2c-2b2ck2a2+b2-2kc-4kab2k2a2+b2=ca=e。

證明：（2）雙曲線x2a2-y2b2=1，不妨設P（c，b2a），設PE斜率k，則PF的斜率為-k，

由x2a2-y2b2=1y-b2a=k（x-c），得（b2-k2a2）x2-（2kab2-2k2a2c）x+a2（b2a-kc）2-a2b2=0，

xP+xE=2kab2-2k2a2cb2-k2a2，又xP=c，

∴xE=2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2，∴yE=kxE+b2a-kc，

將k換成-k得，∴xF=-2kab2-k2a2c-b2cb2-k2a2，yF=-kxF+b2a+kc，

∴kEF=yE-yFxE-xF=k（xE+xF）-2kcxE-xF=k·-2k2a2c-2b2cb2-k2a2-2kc4kab2b2-k2a2=-ca=-e。

證明：（3）設拋物線y2=2px，不妨設P（p2，p），設PE斜率k，則PF的斜率為-k，

由y2=2pxy-b2a=k（x-c），得y2-2pky+2p2k-p2=0，

yP+yE=2pk，∴yE=2pk-p，xE=yEk-pk+p2，

將k換成-k得，yF=2p-k-p，xF=yF-k+pk+p2，

∴kEF=yE-yFxE-xF=yE-yFyE+yFk-2pk=4pk1k（-2p）-2pk=-1。

我們知道圓錐曲線中e為離心率，是圓錐曲線上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比，那么e2有沒有幾何意義？如果有，那么e2具體的幾何意義又是什么呢？

性質2 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上兩個動點A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1≠x2，x1+x2=2x0（x0為常數），則線段AB的垂直平分線過定點C（e2x0，0）。

證明：設AB中點的縱坐標為y0。

當x0=0或y0=0時，顯然成立。

當x0≠0且y0≠0時，

由條件得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，

∴（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0，

即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，

則y0x0·y1-y2x1-x2=-b2a2，∴kAB=-b2a2·x0y0。

則線段AB的垂直平分線的方程為y-y0=a2y0b2x0（x-x0），

令y=0，得x=c2a2x0=e2x0。

∴線段AB的垂直平分線過定點C（e2x0，0）。

特別地，當A，B兩點重合，即A，B成為橢圓的切線時，切點設為M（x0，y0）。當x0≠0，y0≠0時，切線方程為xx0a2+yy0b2=1，切線斜率為-b2x0a2y0，所以該切線在點M處的法線的斜率為a2y0b2x0，法線方程為：y-y0=a2y0b2x0（x-x0），令y=0，得x=c2a2x0=e2x0，即切線AB在點M處的法線也經過點（e2x0，0）。當x0=0或y0=0時，顯然也成立。

性質3 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上兩個動點，A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1≠x2，x1+x2=2x0（x0為常數），則線段AB的垂直平分線過定點C（e2x0，0）。

證明：設AB中點的縱坐標為y0。

當x0=0或y0=0時，顯然成立。

當x0≠0且y0≠0時，

由條件得x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，

∴（x1+x2）（x1-x2）a2-（y1+y2）（y1-y2）b2=0，

即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=b2a2，

則y0x0·y1-y2x1-x2=b2a2，∴kAB=b2a2·x0y0，

則線段AB的垂直平分線的方程為y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），

令y=0，得x=c2a2x0=e2x0。

∴線段AB的垂直平分線過定點C（e2x0，0）。

特別地，當A，B兩點重合，即A，B成為雙曲線的切線時，切點設為M（x0，y0）。當x0≠0，y0≠0時，切線方程為xx0a2-yy0b2=1，切線斜率為b2x0a2y0，所以該切線在點M處的法線的斜率為-a2y0b2x0，法線方程為：y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0，得x=c2a2x0=e2x0，即切線AB在點M處的法線也經過點（e2x0，0）。當x0=0或y0=0時，顯然也成立。

性質4 對焦點在x軸上、中心在原點的橢圓、雙曲線，e2是弦AB的中垂線（AB不平行與x軸）與x軸交點的橫坐標與AB中點橫坐標的比值，特別地，當AB與橢圓或雙曲線相切時，切點為M（M不在y軸上），則e2為點M處的法線與x軸交點的橫坐標與M點橫坐標的比值。

性質5 過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的準線與長軸所在直線的交點K作橢圓的切線，切點為A，則切點A在長軸上的投影恰為橢圓的焦點F，且切線斜率正切值的平方等于橢圓的離心率平方。

證明：設橢圓C：x2a2+y2b2=1的左焦點為F，左準線l′與x軸交與K（-a2c，0），左焦點為F（-c，0），

過K的直線切橢圓于A（x0，y0），考慮橢圓上半部分，得y=baa2-x2，求導數得y′=-ba·xa2-x2，由題意得

y0x0+a2c=-ba·x0a2-x20，將y0=baa2-x20代入整理得x0=-c，y0=b2a，所以tan∠AKF=b2a-c+a2c=ca=e，∴k2=e2。所以切點A在長軸上的投影恰為橢圓的焦點F切線斜率正切值的平方等于橢圓的離心率平方。

同理可得以下性質：

性質6 過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的準線與實軸所在直線的交點K作雙曲線的切線，切點為A，則切點A在實軸上的投影恰為雙曲線的焦點F，且切線斜率正切值的平方等于雙曲線的離心率平方。

性質7 過拋物線y2=2px的準線與對稱軸軸所在直線的交點K作拋物線的切線，切點為A，則切點A在對稱軸上的投影恰為拋物線的焦點F，且切線斜率正切值的平方等于拋物線的離心率平方。

以上性質可以作為課堂教學的拓展或者研究性學習的素材，引導學生自己去研究、整理，也可以作為教師命題的材料，只要對以上性質給具體賦值，都可以作為試題加以應用。