分類討論法在高中數學解題中的運用

常松

【摘 要】在高中數學教學中，分類討論方法是一種重要的解題思路。這種方法需要學生能夠從題目整體出發，全面把握，分步驟、有秩序地解題，逐一考慮題目中的隱藏條件。作為高中數學的重要解題思想之一，了解分類討論的意義，掌握其討論方法，對高中生的解題速度及解題效率的提升將有很大幫助。

【關鍵詞】分類討論；高中數學；解題

分類討論是指問題的研究與解決過程中，所給的對象難以用統一的方法來研究，必須將問題劃為幾個部分，并分別研究每個部分，最終解決整個問題。在數學學習與問題解決等過程中，數學方法是相關研究活動的運用步驟、程序、格式，有著具體的操作性。分類討論是一種思維方式，深刻反映了學生對數學問題的認識與處理能力。高中數學教學中，分類討論一直都是一種重要的數學方法，而且也是高考經常考查的。因此，學生必須要學會用分類討論來解決數學問題。

一、分類討論的必要性

作為高中重要的數學思想方法，學生應該深入了解分類討論解題方法的學習必要性，它主要體現在三個方面：一是對分類討論的原因要明確。學生解題中必須針對問題明確是不是應該使用分類討論，如何進行分類討論，這才是正確的解題想法。大多數情況中，分類討論的運用是因為題中的一些概念、定理應用范圍較窄。比如，如果函數是不連續定義域，那么要想求得其值域，就應該分類討論各定義域。二是充分掌握分類討論法。要想高效解題，學生的解題能力則是必須具備的，要能夠對分類討論法熟練運用。并且，分類討論的使用要正確，則應該有統一的標準，力圖不遺漏任何一點。如果出現了至少兩種以上的分類討論對象時，則應該分層次討論，以保證最終的討論結果不存在錯誤。三是整合分類討論結果。當分類討論完成時，就應整合結論，將重復的部分去掉，整合交叉部分。但是，不能為使用分類討論而使用分類討論，如果能使用整體法解題，則不用進行分類討論。

二、分類討論思想的應用

分類討論是當題目中出現多個隱含條件，單一解法難以對題目進行全面把握的情況下，要分別進行解答，根據一定步驟實施討論，從而在問題分解的基礎上進行綜合，得到完整答案。對于學生來說，它能夠充分鍛煉他們的邏輯推理、分析能力，需要學生勤學苦練。筆者將主要通過高中函數、概率、數列三大重要知識點內容來探究數學解題中分類討論的相關應用。

（一）函數解題中的分類討論

在一些有參數的函數問題中，參數值的量變總會對結果產生質變。分析哲學問題的過程中，分類討論參數，能夠簡化問題，讓學生便捷、靈活解題。比如，在值域的基本題型中，其中二次函數的值域是最重要的問題。一般的二次函數，利用頂點和最值等就可以求出值域。比較困難的就是一些函數有參數問題。有參數的二次函數值域問題可以被稱之為限定性的二次函數求值域問題。換言之，自變量x取值并非是所有實數R，而是限定在一定的范圍內，譬如x∈（a，b），求函數值域問題。對于這樣的問題，只能用分類討論進行解決。在分類討論中，要注意對稱軸x=-b2a在a的左端，b的右端依然是在區間（a，b）中，所以必須分三類進行討論。而這個問題需要學生長期反復練習才能達到效果。

（二）概率解題中的分類討論

在數學概率知識中，相關問題的計算往往要按照問題的要求進行分類，并求出基本事件個數。高中數學中，有的定理自身就是以分類討論方法來解答。比如，統計概率中的分類計數原理最為典型。做一件事情，可以有N中完成方法，在第一種方案中有M1種不同方法，在第二種方案中有M2種不同方法……在第N種方案中有MN種不同方法，因而完成這件事則共有N=M1+M2+……MN種不同方法。值得注意的是，在數學問題解決過程中，利用對每個難點的分別解決，以多種步驟完成最終解答。在解決這些難點較多、需要分多個步驟的數學問題中，有時我們難以在解決前知道用何種方法最好。因此，分類討論方法或許就在解題之中因為解題需要而被使用到。此處的解題需要就是說前面的解題步驟讓情況變得不確定，或者不唯一。

（三）數列解題中的分類討論

數列問題中，分類討論的運用同樣廣泛。比如探索數列周期性問題、等比數列求和等等，其中都有著很多分類討論方法的應用思想。分類討論是一種化整為零、積零為整的歸類整理方法，是重要的數學學習方法[2]。而高中數學中，數列是學習重點，也是高考必考點。在通項公式、求前n項和等問題中都會牽扯到分類討論。但是，高中生在學習利用分類討論解決數列問題時，必須要注意一些問題。具體來說，一是確定分類對象，統一標準；二是做到不重復、不遺漏；三是分層次、不越級討論。同時，注意數列問題中要進行分類討論的是當等差、等比數列定義中由限制條件引發的問題，由公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引發的問題，或者是因數列求和時正負項、奇偶項、等比數列公比q引發的問題等等。

三、結語

高中數學解題中，分類討論本身是著眼于問題本身的性質，也是一種有效解決問題的方法。使用分類討論，可以把問題化繁為簡，將那些不明確的問題變成具體問題，并合理分類、逐步探討、分級歸納。對于高中生來說，掌握分類討論方法，不但可以對數學基礎知識有較為全面的理解，而且對學生邏輯嚴謹性的訓練也大有裨益。