兩類換元積分法的比較

付麗娜　樊小琳　姜永勝　陳星

【摘 要】換元積分法是計算積分的重要方法。本文主要從三個方面對兩類換元積分法進行比較，分別給出了兩類換元積分法的適用范圍及一些計算積分的解題技巧。

【關鍵詞】積分；換元積分法；比較研究

Comparison of Two Kinds of Integration by Substitution

FU Li-na FAN Xiao-lin JIANG Yong-sheng CHEN Xing

（Basic Courses Department of Xinjiang Institute of Engineering，Urumqi Xinjiang 830011，China）

【Abstract】The Integration by substitution is an important method to solve the integral problem.This article mainly comparing the two kinds of Integration by substitution from three aspects and then respectively gives the scope of application of two kinds of variable integral method and some problem-solving skills.

【Key words】Integration；Integration by substitution；The contrastive study

0 引言

積分是高等數學的重要內容，而學好積分的基礎是不定積分的計算，眾所周知計算不定積分的常用方法有以下三種：直接法，換元積分法，分部積分法，其中換元積分法作為一種計算不定積分的重要方法，又分為第一類換元積分法和第二類換元積分法，而區分和正確使用這兩類換元積分法對于初學者來講往往有一定的難度。為了幫助讀者更好的理解換元積分法，本文主要從三個方面，即：When、Why、What，對兩類換元積分法進行比較，這將為讀者在利用換元積分法計算不定積分時提供一種清楚明了的思路。

1 基礎知識

2 兩類換元積分法的比較

2.1 When：何時選用第一類換元積分法，何時選用第二類換元積分法？

從上述兩個定理可以看出，換元積分法主要用來計算被積函數是復合函數的不定積分，而換元積分法有兩類，那么對于一道利用換元積分法計算的不定積分題目，選擇正確的方法是解題的第一步，因此區分何時選擇第一類換元積分法，何時選擇第二類換元積分法顯得尤為重要。經驗表明，我們通常根據被積函數的具體形式來選擇合理的方法。

當被積函數是以下形式時，選擇第一類換元積分法。

1）當被積函數與積分基本公式表中的被積函數形式一樣，只是積分變量相差常數時；如？蘩 e4xdx、？蘩 cos（3x+4）dx等。

2）當被積函數其中一部分的導數恰好是另一部分或只與另一部分相差常數時；如？蘩dx、？蘩 xedx等。

當被積函數是以下形式時，選擇第二類換元積分法。

1）當被積函數含有根式（其中a，b為常數，a≠0），采用無理代換，即令t=，代入被積函數去掉根號的同時將關于x的不定積分轉化為關于t不定積分；如？蘩dx、？蘩dx等。

2）當被積函數含有形如，、等式子時，采用三角代換，分別令x=asint（或x=acost）、x=asect、x=atant代入被積函數利用三角公式去掉根號，需要注意的是在具體問題中需要注明t的范圍，以保證題目有意義，這一點在下文將做說明；如？蘩dx（a>0）、？蘩dx（a>0）等。

3）當被積函數中含有時，采用倒數代換，令t=，代入被積函數去掉倒數；如？蘩dx。

2.2 Why：為什么這樣選擇？

由上面的闡述，對于利用換元積分法計算的不定積分，根據被積函數的具體形式，我們可以明確的選擇用第幾類換元積分法。然而，僅僅會選擇方法還不夠，要明白為什么這樣選擇，將有助于理解兩類換元積分法的本質，從而做到舉一反三，融會貫通。

從第一類換元積分法定理可以看出，第一類換元積分法是從被積函數中找出？漬（x）=u，得到新的被積函數f（u），將剩下的一部分和dx組合恰好湊出新的微分du，此時將原不定積分轉化成可以直接計算的不定積分？蘩 f（u）du，最后將u=？漬（x）代回即可。實際上可以看出第一類換元積分法的重點是找到合適的u=？漬（x），進而湊出新的微分du，所以第一類換元積分法也叫湊微分法。

第二類換元積分法是尋找一個單調可導的函數x=？漬（t），從而將不定積分轉化為容易計算的積分，從上面所列的適用于第二種換元積分法計算不定積分的形式可以看出，引入新的變量t的目的是將積分化簡，而無理代換和三角代換的目的都是去掉根號，倒數代換的目的去倒數，所以可以將第二類換元積分法歸結為：“看誰不順眼就換掉誰”。

2.3 What：怎樣利用換元積分法求解不定積分？

確定了使用哪種換元積分法解題之后，準確無誤的解出題目也需要一定的技巧，本文這一部分將通過上面提到的一些例子來說明怎樣利用兩類換元積分法計算不定積分。

通過以上例子可以看出對于利用換元積分法求不定積分的題目，通過觀察特征，確定方法，認真計算的過程就可以解決問題。這里需要注意的是，有些題目方法并不唯一，所以我們在學習工作的過程中要勤思考，多研究，勇于發現新的方法與思路。

3 總結

通過以上三個方面的比較，可以看出兩類換元積分法雖然定義不一樣，適用的范圍不一樣，但這兩類換元積分法又是緊密聯系的，不論哪類換元方法，目的都是將不定積分轉化為容易計算的形式，而且有一些題目既可以用第一類換元積分法，也可以用第二類換元積分法，所以不能將換元積分法分開來看，而是從整體出發，看哪類換元積分法更容易將復合函數的不定積分化為簡單的、容易計算的不定積分。

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[責任編輯：田吉捷]