令人著迷的梅森素數

邵紅能

2016年1月7日，美國數學家庫珀發現第49個梅森素數274207281-1，即2的74207281次方減1。這個超大素數有22338618位，是目前已知的最大素數。如果用普通字號將它連續打印下來，它的長度可超過65千米！

梅森素數是一種特殊的素數，它是數論研究的一項重要內容，也是當今科學研究的熱點與難點之一。所謂梅森數，是指形如2p-1的一類數，其中指數p是素數，常記為Mp 。如果梅森數是素數，就稱為梅森素數。用因式分解法可以證明，若2n-1是素數，則指數n也是素數;反之，當n是素數時，2n-1卻未必是素數。前幾個較小的梅森數大都是素數，然而梅森數越大，梅森素數也就越難出現。

是否存在無窮多個梅森素數是數論中未解決的著名難題之一，300多年來，人類僅發現49個梅森素數，由于這種素數珍奇而迷人，因此被人們譽為 “數海明珠”。

梅森素數的神秘誕生

1588年9月8日，數學家梅森出生在法國奧澤的一個工人家庭，16歲時進入耶穌會辦的學校學習，1609年從巴黎的索邦神學院畢業后任神職人員，1619年到拉農西亞德女修道院教授神學和哲學。

梅森有很高的科學素養，其研究涉及聲學、光學、力學、航海學和數學等多個學科，并有“聲學之父”的美譽。他是17世紀歐洲科學界一位獨特的、極具魅力的人物，他學識廣博、才華橫溢，是當時法國許多科學家的密友。當時，大多數科學家喜歡以相互通信的方式交流科學思想，許多數學家都樂于將研究成果寄給梅森，然后憑借他熱情誠摯的性格和豐富的社交圈，研究成果會在科學界廣泛傳播開來。梅森起到了科學交流的橋梁作用，被譽為“有定期數學雜志之前的數學的交換站”。由于梅森學識淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統而深入地研究2p-1型的數，為了紀念他，1897年在瑞士蘇黎世舉行的首屆國際數學家大會（ICM）就將2p-1型的數稱為梅森數，并以Mp記之（其中M為梅森姓氏的首字母）;如果Mp為素數，則稱之為梅森素數。

在梅森研究2p-1型的素數之前，法國數學家費馬曾與他進行過相關交流。1640年6月，費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我自信它們將成為今后解決素數問題的基礎。”這封信討論了形式為2n-1的素數。2n-1最早出現在歐幾里得《幾何原本》（公元前300年左右）第九章命題6中。梅森以此作為基礎，花4年時間研究、檢驗了直至2257-1的全部數，并于1644年在他的《物理數學隨感》一書中寫道：“總結前人的工作和我個人的研究，可以得到結論：在n小于或等于257的數中，僅當n=2、3、5、7、13、17、19時，2n-1是素數，并猜想n=31、67、127和257時，2n-1是素數;對于n<257的其他數值，2n-1都是合數。”

梅森提出的大膽猜想，可以大大縮短尋覓最大素數的驗證范圍。梅森素數的驗證工作是十分艱辛與繁重的，n=31、67、127和257時的幾個數比較龐大，其中最小的 231-1=2147483647也具有10位數字，是近20多億的大數，正如梅森推測：“一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的！”是啊，枯燥、冗長、單調、刻板的運算會耗盡一個人的畢生精力，誰愿讓生命的風帆永遠在黑暗中顛簸？

雖然人們非常想知道梅森猜想的根據和方法，然而年邁力衰的梅森來不及留下猜想過程，便在1648年去世了。人們的希望與梅森的生命一起泯滅在流逝的時光之中。梅森曾于1644年猜想：“267-1是個素數。”當時，人們對其猜想深信不疑，連德國大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為他是對的。也許是因為梅森的名氣太大了，因此，沒有人敢對其斷言表示懷疑。

不過，1930年在美國數學協會的年會上，數學家科爾做了一次精彩的演講，他提交的論文題目是“關于大數的因子分解”。在“演講”過程中，他始終一言不發，只是默默地在黑板上進行計算。他先算出267-1的結果，再算出193707721×761838257287的結果，兩個結果完全一樣。科爾第一個否定了“267-1是個素數”這一自梅森猜想以來一直被人們相信的結論，其“演講”贏得了全場聽眾起立熱烈鼓掌和齊聲喝彩。這個“一言不發的演講”成了科學史上的佳話。會后，人們問科爾：“你花費多少時間來研究這個問題？”他靜靜地說：“三年的全部星期天。”后來，這一傳奇的“演講”使他當選為美國數學協會的會長。他去世后，該協會專門設立了“科爾獎”，用于獎勵做出杰出貢獻的數學家。

同時，科爾的這場無言的演講，為人們探索梅森素數提供了有力的精神支持，解放了數學家的思想，并掀起了研究梅森素數的熱潮。

梅森素數的搜索歷程

在“筆算紙錄”的年代，人們歷盡艱辛，才找到12個梅森素數，而計算機的誕生加速了梅森素數的探究進程。1946年第一臺計算機誕生了，尋覓梅森素數即最大素數的工作從手工變為計算機。1952年，數學家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在幾個月內，就找到了5個梅森素數：M521、M607、M1279、M2203、M2281。

探究梅森素數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。

1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數211213-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息，《芝加哥論壇報》還把這一消息作為頭版頭條來報道。發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發出的信封都蓋上了“211213-1是個素數”的郵戳，這一做法一直延續到1976年該系數學家證明著名的“四色定理”為止。endprint

1971年3月4日晚，塔可曼使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數M19937。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構都報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計算機找到了第25個梅森素數：M21707。此后，數學家們利用各種最新的計算機產品，不知疲倦地在巨大的天文數字運算中繼續尋覓梅森素數。1983～1985年的兩年里，數學家史諾云斯基用當時最快的計算機分別求得三個梅森素數。1991年，有數學家又發現史諾云斯基漏掉的梅森素數M110503。1992年3月，英國數學家宣布，在一臺巨型計算機CRAY-2上又發現一個梅森素數M796839，它有227832位數字，是當時發現的最大一個素數。若把這些數字印成書，可達180頁左右，不過這將是一本十分枯燥的書。

“互聯網梅森素數最大搜索”項目（GIMPS）是世界上第一個基于互聯網的分布式計算項目，該項目希望聯合全球所有樂于奉獻的數學愛好者們的計算機，使用Prime95或 MPrime軟件來尋找梅森素數。為了激勵人們尋找梅森素數和促進網絡技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會（EFF）于1999年設立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目的梅森素數發現者。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元獎金。后面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元;超過1億位數，15萬美元;超過10億位數，25萬美元。不過，絕大多數人參與該項目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

2000年4月6日，住在美國密歇根州普利茅茨的那揚·哈吉拉特瓦拉得到了一筆5萬美元的懸賞獎金，因為他找到了當時已知的最大素數，這是一個梅森素數：26972593-1。可是，哈吉拉特瓦拉先生并不是一個數學家，他甚至很可能對尋找素數的數學理論一無所知——雖然這使他贏得了這筆獎金。他所做的一切，就是從互聯網上下載了一個程序。

目前，科學家的最新發現是第49個梅森素數，它是由美國密蘇里大學的數學家庫珀在GIMPS項目中發現的。梅森素數是否有無窮多個？數學家與計算機專家正在疾蹄奮進地努力工作，去發現新的最大的梅森素數，去攻克這一古老難題。

尋找梅森素數的意義

為什么要尋找梅森素數？作為人類智慧的結晶，梅森素數的定義簡單，卻又如此神秘莫測。多年來，經過無數代人的辛勤工作，我們一共只收集到49個梅森素數，它們是非常稀少的，對于數學家來說，收集梅森素數和收集鉆石一樣富有樂趣。

梅森素數的分布極不規則，在長期的摸索中，數學家也提出了一些猜想。英國數學家香克斯、美國數學家吉里斯、法國數學家托洛塔和德國數學家伯利哈特曾分別給出過關于梅森素數分布的猜測，但他們的猜測有一個共同點，以近似表達式給出，而與實際情況的接近程度均未盡如人意。

我國數學家周海中是這方面研究的領先者，他運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便;后來，這一重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威裔數論大師、菲爾茨獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：“周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法。”

梅森素數的搜索與發現可以極大地推動密碼學的研究與發展。梅森素數的搜索是發現最大素數的最有效的途徑，如由蘋果公司著名科學家克蘭多爾所發明的“快速橢圓加密系統”，就將梅森素數應用于快速加密和解密信息。梅森素數的搜索，促進了分布式計算與程序設計的發展。迄今，梅森素數的搜索不僅僅需要設計良好的分布式體系結構，還需要不斷改進的數值計算方法和巧妙的算法設計藝術。

人類在不斷地挑戰和創造新記錄的過程中可以不斷地認識自我，梅森素數的搜索正好是對人類智力、意志的極限的一種挑戰。人類對真理的執著追求，讓人想起國際著名數學家希爾伯特那句名言：“我們必須知道，我們必將知道。”

【責任編輯】張小萌endprint