基于時序建模的光纖電流互感器隨機噪聲卡爾曼濾波方法

李波， 林聰， 劉清蟬， 朱全聰， 魏廣進

(1.云南電網有限責任公司電力科研究院，云南 昆明 650217；2.中國南方電網公司 電能計量重點實驗室，云南 昆明 650217；3.東南大學 儀器科學與工程學院，江蘇 南京 210096)

基于時序建模的光纖電流互感器隨機噪聲卡爾曼濾波方法

李波1,2， 林聰1,2， 劉清蟬1,2， 朱全聰1,2， 魏廣進3

(1.云南電網有限責任公司電力科研究院，云南 昆明 650217；2.中國南方電網公司 電能計量重點實驗室，云南 昆明 650217；3.東南大學 儀器科學與工程學院，江蘇 南京 210096)

針對光纖電流互感器(FOCT)隨機噪聲特性及其對繼電保護、電能計量等間隔層設備的影響，建立FOCT隨機誤差的時序模型，并采用濾波方法有效提高了FOCT測量精確度。首先，預處理和統計檢驗FOCT原始數據，獲取數據隨機特征；根據赤池信息準則(AIC)準則選擇時間序列模型的階次，求出模型系數建立FOCT隨機誤差的ARMA(2,1)模型，并檢驗其適用性；采用卡爾曼濾波方法對FOCT輸出數據進行濾波處理。總方差分析結果表明：建立的FOCT時序模型經卡爾曼濾波后，隨機噪聲幅值明顯減小，方差值降低了兩個數量級，各項隨機噪聲的誤差系數均下降一個數量級，采用的時序建模和卡爾曼濾波方法能有效減小FOCT的隨機噪聲，提高電流信息的測量精確度。

隨機噪聲; 測量精確度; AIC準則; ARMA模型;卡爾曼濾波

0 引 言

光纖電流互感器(fiber optical current transducer，FOCT)作為一種新型的電流測量裝置，較傳統的電流互感器，具有測量精確度高、動態范圍大、頻響范圍寬、絕緣性能優的一系列優點[1-2]。FOCT面臨的隨機噪聲問題成為限制其在電力工程中大量應用的主要因素之一，其測量精確度對電力系統具有至關重要的作用[3-4]。為了提高FOCT測量精確度，對其輸出隨機噪聲進行在線建模，選擇適當的濾波方法對噪聲進行減小甚至消除。文獻[5-6]提供了一種基于溫度補償的方法對FOCT隨機噪聲進行減小的方法。現有的時序建模方法通常直接分析不符合時間序列平穩性的FOCT輸出數據，忽略了輸出序列的預處理和統計檢驗分析工作，即對輸出序列進行獨立、平穩、正態、零均值以及趨勢項處理工作和輸出序列的非平穩性、非隨機和非正態等特性檢驗，直接建立的模型誤差較大。

本文針對FOCT輸出數據的隨機噪聲問題，從FOCT輸出數據預處理和統計檢驗入手，通過赤池(AIC)準則選擇階次建立最佳模型，經最小二乘法求解模型參數，通過模型殘差的自相關函數圖和偏自相關函數圖檢驗模型的適用性，建立系統相應的狀態方程和輸出方程，采用卡爾曼濾波算法對FOCT隨機噪聲實時濾波，利用總方差法分析濾波前后FOCT數據的各項隨機誤差。

1 時間序列建模方法

1.1 時序模型的描述

FOCT輸出數據是有序的隨機信號，無法采用基于輸入輸出的傳統建模方式對其進行建模，可采用時序分析的方法對其處理，即根據統計理論利用系統的輸出信號建立反映系統運行狀態的參數模型，建立FOCT的時間序列模型[7-8]。

時間序列模型常用于擬合平穩、正態序列，在某種近似程度上，通過相應準則選擇適當階數的ARMA(p,q)能用于描述任何廣義平穩隨機過程。設{xk}(k=1,...,n){xk}(k=1,2,…,n)是一個平穩、正態、零均值時間序列，則ARMA(p,q)模型可表示為

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+...+φpxk-p+

ak-θ1ak-1-…-θqxk-q。

(1)

其中：n為數據序列的個數，xk為時間序列，φp為自回歸系數，θa為滑動平均系數，ak為殘差，p、q為ARMA(p,q)模型的階次。式(1) 表示的是時間序列{xk}在第k時刻的取值，xk可以用該時序在過去n個時期的值xk-1,xk-2,…,xk-p進行估計，其誤差為

e=ak-θ1ak-1-…-θqak-q。

(2)

1.2 時序建模預處理

建立ARMA模型的前提是原始FOCT信號滿足平穩性、正態性和零均值的要求，對于錄入的FOCT輸出數據通常并不具備這些條件，需要對樣本數據進行預處理操作和相應特性的檢驗。

1)均值濾波。

對于錄入的實際數據選取若干個FOCT數據的均值構成新的數據序列，處理速度較快，算法簡單，能夠有效減弱FOCT隨機噪聲。

2)平穩性檢驗。

通常采用逆序檢驗法來檢驗FOCT數據序列的平穩性情況，如果不滿足平穩性要求，則對FOCT隨機序列進行趨勢項提取。逆序檢驗法[9]定義如下：將{xn}分成l個子序列{xj,n}，j∈(0,1,2,...,l)，求出各子序列的均值μl后，均值構成一個序列μ1μ2μ3…μl。當i>j時，每出現一次μi>μj，定義為μj的一個逆序，同時定義μj的逆序，Aj為μi>μj出現的次數，則序列的逆序總數為

(3)

逆序總數的理論平均值為

(4)

逆序總數的理論方差為

(5)

構造統計量為

(6)

當顯著水平為0.05時，如果|u|≤1.96，則可確定μj間無顯著性差異，可確定{xn}是平穩序列。

3)趨勢項提取。

差分處理的方法可用于提取趨勢項，通常不滿足平穩性要求的隨機序列經一次差分處理后大多能滿足平穩性要求，處理后再檢驗平穩性，若不滿足平穩性要求進行二次差分處理。數據序列經差分處理后得到新序列，減去新序列的均值進行均值處理，完成趨勢項提取。

4)正態性檢驗

對于平穩觀測的FOCT數據序列進行正態性檢驗，檢驗其標準偏度系數ξ和標準峰度系數ν，以下四個參數表示其總體概率密度。

均值為

(7)

方差為

(8)

標準偏度系數為

(9)

標準峰度系數為

(10)

當ξ≈0，ν≈0，隨機序列滿足正態性要求。

1.3 在線時序建模

FOCT數據時序建模的預處理和統計檢驗后，需要對模型進行定階，模型參數計算，得到的可用模型仍需進行模型適用性檢驗，通過檢驗模型殘差是否為白噪聲，對通過檢驗后的適用模型建立系統狀態方程和輸出方程，采用卡爾曼濾波方法對FOCT數據進行處理。

1)階次選擇。

經過預處理和檢驗的FOCT隨機噪聲序列已經是零均值、平穩、正態的時間序列，滿足建模要求。赤池信息準則(akaikeinformationcriterion,AIC)是判斷時間序列模型階次的常用方法，其定階準則的定義如下：

(11)

AIC準則考慮了模型階次和殘差的相互作用，從低到高分別計算不同階次模型的AIC值，選擇AIC值最小的階次建立時間序列模型。

2)模型檢驗。

模型定階并經最小二乘法計算模型參數后，檢驗模型的適用性，即檢驗模型殘差是否為白噪聲，如果模型殘差為白噪聲，則模型可用；反之，不可用。

2 基于時序模型的卡爾曼濾波方法

根據得到的ARMA模型，可利用卡爾曼濾波方法進一步對中低精確度FOCT的隨機噪聲進行抑制[10-12]，建立以FOCT隨機噪聲為白噪聲形式的系統狀態方程。

狀態方程為

(12)

設Wk為ARMA模型的估計誤差，則有

Yk=Xk+Wk。

(13)

系統輸出為

Zk=Y。

(14)

則輸出方程為

Zk=CXk+Wk。

(15)

vk和Wk的通常為均值為0，自相關系數為常數的白噪聲，且互不相關。統計特性為：均值E(Wk)=E(vk)=0，自相關函數φvv=Rδkj，φvv=Qδkj，互相關函數φvw(k,j)=0。

根據狀態方程和輸出方程，采用卡爾曼濾波方法對FOCT數據進行處理，建立的卡爾曼濾波方程如下：

(16)

3 實驗與仿真分析

現取某型號 FOCT樣機，充分預熱之后，錄入 FOCT穩定工作狀態下的輸出的電流數據，測試環境如圖1所示，FOCT工作原理如圖2所示。

圖1 光纖電流互感器測試環境Fig.1 Experimental environment of the current transducer test system

圖2 FOCT工作原理圖Fig.2 Principle diagram of FOCT

FOCT工作原理如圖2所示，測試系統接入工頻單相220V電源作升流系統調節電流，產生的一次電流同時作用于高精確度標準電流互感器和FOCT，標準互感器產生二次電壓輸出到采樣頻率不低于50kHz的高精確度模擬量采集板卡，模數轉換模塊在時鐘基準提供的同步信號下觸發采集標準電流值；一次電流作用于FOCT上，采集實時電流數據，通過光纖傳輸到合并單元，經整理后的采集量以FT3數據格式傳送至光纖收發器，再經FPGA數字量接收裝置接收。電流校驗儀接收來自標準互感器和FOCT采集到的電流數據，進行后臺數據分析與處理，實際測試曲線如圖3所示。

均值濾波后的FOCT數據序列首次平穩性檢驗結果為：|u|=2.54>1.96，不滿足平穩性要求；提取趨勢項后，如圖4所示，|u|=0.5<1.96，滿足平穩性要求；正態性檢驗主要結果為：標準偏度系數ξ=0.003 2≈0，標準峰度系數ν=4.547 7×10-4≈0，新的數據序列滿足正態性要求。該組新的數據序列為平穩性、零均值、正態性序列，滿足在線建模的前提條件。

圖3 原始錄入數據與均值濾波數據Fig.3 Raw FOCT data and the data after mean filtering

圖4 一階差分后FOCT隨機噪聲Fig.4 FOCT stochastic noise after one-order differential process

針對滿足時序建模條件的電流序列，由于FOCT隨機噪聲模型的階次都較低，一般不超過2～3階，在模型參數數目小于3 的范圍內，遍歷計算AIC最小值所對應的模型，各模型AIC值計算如表1所示。

表1 FOCT隨機噪聲各模型的AIC值Table 1 AIC values of stochastic error model of FOCT

根據最小AIC值的選擇ARMA(2,1)模型作為FOCT隨機噪聲的最佳模型。建立的ARMA(2,1)模型基礎為

xk=φ1xk-1+φ2xk-2+ak-θ1ak-1。

(17)

xk=-0.707 2xk-1-0.132 5xk-2+ak-0.124 2ak-1。

(18)

根據殘差的自相關函數和偏自相關函數圖可知，如圖5所示，二者可看作為白噪聲輸入，表明此模型有效。

圖5 模型殘差的自相關函數圖和偏自相關函數圖Fig.5 ACF and PACF of model residual

根據建立的ARMA(2,1)模型，求得相應的系統狀態方程為

Xk=AXk+BVk。

(19)

系統輸出方程為

Zk=CXk+Wk。

(20)

利用卡爾曼濾波方法對FOCT數據隨機噪聲進行去噪處理，濾波前后的曲線如圖6所示。對比濾波前后的曲線可以看出，采用ARMA模型建模和卡爾曼濾波后的FOCT隨機噪聲數據中的噪聲幅值明顯減小，計算數據濾波前后統計特性，濾波前方差為1.8×10-4，卡爾曼濾波后方差為3.1×10-6，濾波后的隨機噪聲數據特性有明顯提高，方差值下降了兩個數量級，說明卡爾曼濾波方法可在保證無偏估計的同時提高FOCT輸出數據的分散程度。

圖6 光纖電流互感器數據濾波前后對比Fig.6 FOCT data comparison before and after Kalman filtering

采用總方差法[15]分析FOCT數據濾波前后的隨機噪聲，FOCT輸出數據中通常包括五項隨機噪聲：量化噪聲(quantization noise)、電流隨機游走噪聲(current random walk)、零偏不穩定性噪聲(bias instability)、速率隨機游走噪聲(rate random walk)、速率斜坡噪聲(rate ramp)，誤差系數分別用S、N、B、K和R表示。鑒于FOCT不同類型的隨機噪聲誤差出現在不同的相關時間域內，不同類型噪聲的功率譜密度及相關時間的函數關系均不同，故獨立統計各項噪聲誤差得

(21)

通過總方差法檢驗FOCT隨機噪聲數據經過ARMA建模和卡爾曼濾波的濾波效果，表2為對應FOCT卡爾曼濾波前后的誤差項系數比較，圖7是該FOCT卡爾曼濾波前后的總方差曲線對比。

表2 卡爾曼濾波前后隨機誤差系數表Table 2 Stochastic error coefficients before and after Kalman filtering

圖7 濾波前后總方差分析Fig.7 Total variance analysis before and after Kalman filter

由表2和圖7可知，該型號FOCT輸出數據隨機噪聲以量化噪聲、速率隨機游走、速率斜坡以及零偏不穩定性噪聲為主。經過時間序列建模和卡爾曼濾波后，FOCT輸出數據中各項隨機誤差均有所改善，均下降了一個數量級，表明濾波有效去除了信號中的隨機噪聲成分，相應的FOCT測量精確度得到了提高。

4 結 論

FOCT隨機噪聲導致的測量精確度誤差對智能變電站間隔層設備具有重要的影響。通過建立FOCT數據的時間序列模型和卡爾曼濾波處理，分析結果顯示處理后的 FOCT輸出數據隨機噪聲幅值明顯減小，方差值下降了兩個數量級，總方差法分析得到FOCT的電流隨機游走噪聲、零偏不穩定性噪聲、速率隨機游走噪聲、速率斜坡噪聲和量化噪聲等五項隨機噪聲誤差系數均下降一個數量級，采用的處理過程能夠有效地抑制FOCT輸出信號的隨機噪聲，濾除信號中無用信號，提高了電流測量精確度。鑒于FOCT頻響帶寬可以達到10 kHz，卡爾曼濾波處理過程中導致FOCT動態響應精確度降低和時間延遲的負面影響可忽略不計。

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(編輯：賈志超)

Kalman filter offiber optical current transducer′s stochastic noise based on time series model

LI Bo1,2， LIN Cong1,2， LIU Qing-chan1,2, ZHU Quan-cong1,2, WEI Guang-jin3

(1.Electric Power Research Institute of Yunnan Power Grid co.Ltd, Kunming 650217, China;2.Key Laboratory of Electric Power Measurement, China Southern Power Grid, Kunming 650217, China;3.School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096,China)

Due to the effects on the devices like relay protection and power metering, created by stochastic error characteristic of fiber optic current transducer (FOCT), modeling online and filtering real-time can effectively improve measurement accuracy.At first, pretreating and inspecting statistically the FOCT data is essential to characterize the stochastic error of FOCT.Then, set order for the time series model by Akaike information criterion (AIC) rule and acquire model coefficients to establish ARMA(2,1) model.Next, test the applicability of the established model.Finally, Kalman filter is adopted to process the FOCT data.Simulation results of total variance demonstrate that stochastic error is obviously decreased after Kalman filtering based on ARMA(2,1) model.Besides, variance is reduced by two orders, and every coefficient of stochastic error is reduced by one order.The filter method based on time series model does reduce stochastic noise of FOCT, and increase measurement accuracy.

stochastic noise; measurement accuracy; AIC rule; ARMA model; Kalman filter

2016-04-18

南方電網科技項目(YNKJ0000124)；云南電網科技項目(HLZB20150738)

李 波(1982—)，男，碩士，高級工程師，研究方向為電氣測量、智能電網測控； 林 聰(1986—)，男，碩士，工程師，研究方向為電力計量、智能電網測控； 劉清蟬(1983—)，男，碩士，工程師，研究方向為電能計量、計量自動化； 朱全聰(1987—)，男，碩士，工程師，研究方向為智能變電站信息采集、電能計量測試； 魏廣進(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為光纖傳感器、儀器儀表測試。

李 波

10.15938/j.emc.2017.04.012

TM 452+.94

A

1007-449X(2017)04-0083-06